On the Dimension of Iterated Sumsets
On the Dimension of Iterated Sumsets
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关于迭代和集的维数
DOI：
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发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Pablo Shmerkin
中科院分区：
文献类型：
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作者：
J. Schmeling;Pablo Shmerkin
设A是实数行的子集。我们研究k重迭代和集Ka的分维，定义为
$$Ka={{a}_{1}+cdots+{a}_{k}：A}中的{a}_{i}。$$
证明了对于取值于[0，1]中的任意非递减序列{αk}k=1∞，存在一个紧集A使得Ka对所有k个α1都有Hausdorff维数≥k.我们还证明了如何同时控制迭代和集族的各种维数.这些结果与加性组合数学中的Pluneck ke-Ruzsa不等式形成了鲜明对比。然而，对于较低的盒数维度，类似的普朗内克-鲁兹萨不等式仍然成立。
Let A be a subset of the real line. We study the fractal dimensions of the k-fold iterated sumsets kA, defined as
$$kA ={ {a}_{1} + cdots + {a}_{k} : {a}_{i} in A}.$$
We show that for any nondecreasing sequence {α k }k = 1 ∞ taking values in [0, 1], there exists a compact set A such that kA has Hausdorff dimension α k for all k ≥ 1. We also show how to control various kinds of dimensions simultaneously for families of iterated sumsets. These results are in stark contrast to the Plunnecke–Ruzsa inequalities in additive combinatorics. However, for lower box-counting dimensions, the analog of the Plunnecke–Ruzsa inequalities does hold.