Enhanced alternating energy minimization methods for stochastic galerkin matrix equations
Enhanced alternating energy minimization methods for stochastic galerkin matrix equations
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随机伽辽金矩阵方程的增强交变能量最小化方法
DOI：
10.1007/s10543-021-00903-x
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发表时间：
2022
影响因子：
1.5
通讯作者：
Lee, Dongeun
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Lee, Kookjin;Elman, Howard C.;Powell, Catherine E.;Lee, Dongeun
在不确定性量化中，通常需要求解由偏微分方程（PDE）组成的正演模型，该偏微分方程具有空间变化的不确定系数，该不确定系数表示为一组随机变量或参数的仿射函数。使用随机Galerkin有限元方法（SGFEM）离散这些模型会导致非常高维的离散问题，这些问题可以被转换为线性多项矩阵方程（LMTME）。我们开发了有效的计算方法，这种矩阵方程的低秩近似的解决方案。为了做到这一点，我们遵循交替能量最小化（AEM）框架，其中的解决方案表示为两个矩阵的乘积，并通过重复求解某些最小化问题来寻求每个组件的近似值。适当的广义分解方法的启发下，我们提出的迭代求解算法是基于AEM方法的秩自适应变体，连续计算在每一步的秩一解决方案的组件。我们引入和评估新的增强程序，以提高这些算法提供的近似的准确性。通过与参数化线性椭圆偏微分方程的SGFEM离散相关联的LMTMEs的数值实验，证明了增强AEM方法的效率和精度。
In uncertainty quantification, it is commonly required to solve a forward model consisting of a partial differential equation (PDE) with a spatially varying uncertain coefficient that is represented as an affine function of a set of random variables, or parameters. Discretizing such models using stochastic Galerkin finite element methods (SGFEMs) leads to very high-dimensional discrete problems that can be cast as linear multi-term matrix equations (LMTMEs). We develop efficient computational methods for approximating solutions of such matrix equations in low rank. To do this, we follow an alternating energy minimization (AEM) framework, wherein the solution is represented as a product of two matrices, and approximations to each component are sought by solving certain minimization problems repeatedly. Inspired by proper generalized decomposition methods, the iterative solution algorithms we present are based on a rank-adaptive variant of AEM methods that successively computes a rank-one solution component at each step. We introduce and evaluate new enhancement procedures to improve the accuracy of the approximations these algorithms deliver. The efficiency and accuracy of the enhanced AEM methods is demonstrated through numerical experiments with LMTMEs associated with SGFEM discretizations of parameterized linear elliptic PDEs.
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