On certain properties of harmonic numbers
On certain properties of harmonic numbers
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关于调和数的某些性质
DOI：
10.1016/j.jnt.2016.11.027
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发表时间：
2017
影响因子：
0.7
通讯作者：
Chen Yong-Gao
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Wu Bing-Ling;Chen Yong-Gao
文本 令 H n 为 n 次谐波数，令 u n 为其分子。对于任何素数 p，令 J p 为正整数 n 的集合，其中 p| u n. 1991 年，Eswarathasan 和 Levine 推测 J p 对于任何素数 p 都是有限的。显然，H n 的 p 进值不小于−⌊ log p n⌋。令 T p 为正整数 n 的集合，使得 H n 的 p 进值等于−⌊ log p n⌋。最近，卡洛·桑纳证明了这一点| J p∩[1, x]|< 129 p 2/3 x 0.765 并且存在 S p⊆ T p 且 δ (S p)> 0.273，其中 δ (X) 表示正整数集合 X 的对数密度。他还评论说，用他的方法无法实现 δ (S p)> 1/3− ε 。在本文中，我们改进了这些结果。例如，我们的两个结果是：(a)| J p∩[1, x]|≤ 3 x 2/3+ 1/(25 log p);(b) δ (T p) 存在，并且对于所有素数 p≥ 13，1−(2 log p)− 1≤ δ (T p)≤ 1−(p log p)− 1。特别是，对于所有素数 p，δ (T p)> 0.63。视频 有关本文的视频摘要，请访问 https://youtu。是/3ujCuVwH8k8。
Text Let H n be the n-th harmonic number and let u n be its numerator. For any prime p, let J p be the set of positive integers n with p| u n. In 1991, Eswarathasan and Levine conjectured that J p is finite for any prime p. It is clear that the p-adic valuation of H n is not less than−⌊ log p n⌋. Let T p be the set of positive integers n such that the p-adic valuation of H n is equal to−⌊ log p n⌋. Recently, Carlo Sanna proved that| J p∩[1, x]|< 129 p 2/3 x 0.765 and that there exists S p⊆ T p with δ (S p)> 0.273, where δ (X) denotes the logarithmic density of the set X of positive integers. He also commented that with his methods δ (S p)> 1/3− ε cannot be achieved. In this paper, we improve these results. For example, two of our results are:(a)| J p∩[1, x]|≤ 3 x 2/3+ 1/(25 log p);(b) δ (T p) exists and 1−(2 log p)− 1≤ δ (T p)≤ 1−(p log p)− 1 for all primes p≥ 13. In particular, δ (T p)> 0.63 for all primes p. Video For a video summary of this paper, please visit https://youtu. be/3ujCuVwH8k8.