Complexity of the usual torus action on Kazhdan–Lusztig varieties
Complexity of the usual torus action on Kazhdan–Lusztig varieties
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DOI：
10.5802/alco.279
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发表时间：
2021-11
影响因子：
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通讯作者：
Maria Donten-Bury;Laura Escobar;Irem Portakal
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Maria Donten-Bury;Laura Escobar;Irem Portakal
我们研究了 Kazhdan-Lusztig 变体类及其矩阵舒伯特变体的子类，赋予了自然定义的环面作用。将矩阵舒伯特变体 $\overline{X_w}$ 写为 $\overline{X_w}=Y_w\times \mathbb{C}^d$ （其中 $d$ 是最大可能），我们表明，当 $k\neq 1$ 时，$Y_w$ 的复杂度为 $k$。此外，我们还给出了 Kazhdan-Lusztig 簇权重锥的极值射线的组合描述，特别是它是非循环有向图的边锥。因此，我们表明，给定排列 $v$ 和 $w$，由 $(v,w)$ 索引的 Kazhdan-Lusztig 变体的复杂性与由 $(v,w)$ 索引的 Richardson 变体的复杂性相同。最后，我们使用此描述来计算某些 Kazhdan-Lusztig 品种的复杂性。
We investigate the class of Kazhdan-Lusztig varieties, and its subclass of matrix Schubert varieties, endowed with a naturally defined torus action. Writing a matrix Schubert variety $\overline{X_w}$ as $\overline{X_w}=Y_w\times \mathbb{C}^d$ (where $d$ is maximal possible), we show that $Y_w$ can be of complexity-$k$ exactly when $k\neq 1$. Also, we give a combinatorial description of the extremal rays of the weight cone of a Kazhdan-Lusztig variety, which in particular turns out to be the edge cone of an acyclic directed graph. As a consequence we show that given permutations $v$ and $w$, the complexity of Kazhdan-Lusztig variety indexed by $(v,w)$ is the same as the complexity of the Richardson variety indexed by $(v,w)$. Finally, we use this description to compute the complexity of certain Kazhdan-Lusztig varieties.