Lindenbaum and Pair Extension Lemma in Infinitary Logics
Lindenbaum and Pair Extension Lemma in Infinitary Logics
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无限逻辑中的 Lindenbaum 和对扩展引理
DOI：
10.1007/978-3-662-57669-4_7
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发表时间：
2018
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Lávička
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Bílková M;Cintula;Lávička
摘要林登鲍姆引理是代数逻辑中的一个重要结论，它指出素理论构成了任意给定逻辑的所有理论的闭包系统的基础。然而，它通常的表述仅限于有限逻辑，即仅使用有限规则的希尔伯特式公理化的逻辑。在这篇贡献中，我们将其范围扩展到所有具有可数公理化和表现良好的析取连接的逻辑。我们还将林登鲍姆引理与对扩展引理联系起来，这是另一个主要在非经典模态逻辑理论中有许多应用的著名结果。虽然这个引理的一个限制形式（右手边有限的对）在我们的上下文中等价于Lindenbaum引理，但我们展示了一个可能令人惊讶的结果，即它仅适用于有限逻辑。最后，我们提供了一些例子来说明我们的结果的局限性和应用。
The abstract Lindenbaum lemma is a crucial result in algebraic logic saying that the prime theories form a basis of the closure systems of all theories of an arbitrary given logic. Its usual formulation is however limited to finitary logics, i.e., logics with Hilbert-style axiomatization using finitary rules only. In this contribution, we extend its scope to all logics with a countable axiomatization and a well-behaved disjunction connective. We also relate Lindenbaum lemma to the Pair extension lemma, other well-known result with many applications mainly in the theory of non-classical modal logics. While a restricted form of this lemma (to pairs with finite right-hand side) is, in our context, equivalent to Lindenbaum lemma, we show a perhaps surprising result that in full strength it holds for finitary logics only. Finally we provide examples demonstrating both limitations and applications of our results.
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