Efficient estimation of linear functionals of principal components
Efficient estimation of linear functionals of principal components
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DOI：
10.1214/19-aos1816
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发表时间：
2017-08
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
V. Koltchinskii;Matthias Loffler;Richard Nickl
中科院分区：
文献类型：
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作者：
V. Koltchinskii;Matthias Loffler;Richard Nickl
我们研究了平均零i.i.d.的主成分分析（PCA）。可分希尔伯特空间$\mathbb{H}$中的高斯观测值$X_1，\dots，X_n$，协方差算子$\Sigma.$问题的复杂性由其有效秩${\bf r}（\Sigma）：= \frac{{\rm tr}（\Sigma）}{\|\Sigma\|}，$来表征，其中${\rm tr}（\Sigma）$表示$\Sigma$的迹，$\|\Sigma\|$表示其算子范数。本文提出了一种在$\Sigma特征向量的线性泛函估计问题中减少偏差的方法。在${\bfr}（\Sigma）=o（n）的假设下，我们建立了估计量风险的渐近正态性和渐近性质，并证明了匹配的极小极大下界，显示了它们的半参数最优性.
We study principal component analysis (PCA) for mean zero i.i.d. Gaussian observations $X_1,\dots, X_n$ in a separable Hilbert space $\mathbb{H}$ with unknown covariance operator $\Sigma.$ The complexity of the problem is characterized by its effective rank ${\bf r}(\Sigma):= \frac{{\rm tr}(\Sigma)}{\|\Sigma\|},$ where ${\rm tr}(\Sigma)$ denotes the trace of $\Sigma$ and $\|\Sigma\|$ denotes its operator norm. We develop a method of bias reduction in the problem of estimation of linear functionals of eigenvectors of $\Sigma.$ Under the assumption that ${\bf r}(\Sigma)=o(n),$ we establish the asymptotic normality and asymptotic properties of the risk of the resulting estimators and prove matching minimax lower bounds, showing their semi-parametric optimality.