Continuity of Hausdorff dimension across generic dynamical Lagrange and Markov spectra II
Continuity of Hausdorff dimension across generic dynamical Lagrange and Markov spectra II
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通用动态拉格朗日谱和马尔可夫谱 II 上豪斯多夫维数的连续性
DOI：
10.1017/etds.2021.18
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发表时间：
2016
影响因子：
0.9
通讯作者：
Sergio Romaña
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
A. Cerqueira;C. Moreira;Sergio Romaña
抽象让
$g_0$
是完整曲面 N 上的平滑收缩负曲黎曼度量，并让
$\拉姆达_0$
是测地线流的基本双曲集
$g_0$
豪斯多夫维数严格小于二。给定一个小的平滑扰动 g
$g_0$
以及 N 相对于 g 的单位切丛上的平滑实值函数 f，令
$L_{g,\Lambda,f}$
（分别
$M_{g,\Lambda,f}$
) 是双曲延拓中沿测地线 f 渐近最高（相应最高）值的拉格朗日（相应马尔可夫）谱
$\Lambda$
的
$\拉姆达_0$
。我们证明，对于 g 和 f 的通用选择，集合的豪斯多夫维数
$L_{g,\Lambda , f}\cap (-\infty , t)$
连续变化
$t\in \mathbb {R}$
而且，此外，
$M_{g,\Lambda , f}\cap (-\infty , t)$
具有相同的豪斯多夫维数
$L_{g,\Lambda , f}\cap (-\infty , t)$
为所有人
$t\in \mathbb {R}$
。
Abstract Let
$g_0$
be a smooth pinched negatively curved Riemannian metric on a complete surface N, and let
$\Lambda _0$
be a basic hyperbolic set of the geodesic flow of
$g_0$
with Hausdorff dimension strictly smaller than two. Given a small smooth perturbation g of
$g_0$
and a smooth real-valued function f on the unit tangent bundle to N with respect to g, let
$L_{g,\Lambda ,f}$
(respectively
$M_{g,\Lambda ,f}$
) be the Lagrange (respectively Markov) spectrum of asymptotic highest (respectively highest) values of f along the geodesics in the hyperbolic continuation
$\Lambda $
of
$\Lambda _0$
. We prove that for generic choices of g and f, the Hausdorff dimensions of the sets
$L_{g,\Lambda , f}\cap (-\infty , t)$
vary continuously with
$t\in \mathbb {R}$
and, moreover,
$M_{g,\Lambda , f}\cap (-\infty , t)$
has the same Hausdorff dimension as
$L_{g,\Lambda , f}\cap (-\infty , t)$
for all
$t\in \mathbb {R}$
.