A Critical Centre-Stable Manifold for Schroedinger's Equation in R^3
A Critical Centre-Stable Manifold for Schroedinger's Equation in R^3
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R^3中薛定谔方程的临界中心稳定流形
DOI：
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发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
M. Beceanu
中科院分区：
文献类型：
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作者：
M. Beceanu
考虑R^3 i \partial ＿t \psi + \Delta\psi + | \psi |^2 \psi = 0的聚焦三次半线性薛定谔方程。它允许一个叫做基态孤子的特殊解的八维流形。
我们在孤子流形的一个邻域上展示了一个具有渐近稳定解的余维一临界实解析流形N。然后我们证明了N是中心稳定的，在贝茨-琼斯的动力系统意义上，并且是全局时不变的。
N中的解是渐近稳定的，并且被分离成两个渐近自由的部分，它们在极限下解耦——孤子和辐射。相反，在一般情况下，任何时刻都接近孤子流形的解都在N内。
证明采用了调制的方法。新的元素包括不同的线性化和时间相关线性化方程的端点Strichartz估计。
证明也使用了线性化哈密顿函数没有非零实特征值或共振的事实。这一点最近已经由Marzuola-Simpson和Costin-Huang-Schlag在这里讨论的案例中——聚焦立方NLS在R^3中的研究中得到了证实。
Consider the focusing cubic semilinear Schroedinger equation in R^3 i \partial_t \psi + \Delta \psi + | \psi |^2 \psi = 0. It admits an eight-dimensional manifold of special solutions called ground state solitons.
We exhibit a codimension-one critical real-analytic manifold N of asymptotically stable solutions in a neighborhood of the soliton manifold. We then show that N is centre-stable, in the dynamical systems sense of Bates-Jones, and globally-in-time invariant.
Solutions in N are asymptotically stable and separate into two asymptotically free parts that decouple in the limit --- a soliton and radiation. Conversely, in a general setting, any solution that stays close to the soliton manifold for all time is in N.
The proof uses the method of modulation. New elements include a different linearization and an endpoint Strichartz estimate for the time-dependent linearized equation.
The proof also uses the fact that the linearized Hamiltonian has no nonzero real eigenvalues or resonances. This has recently been established in the case treated here --- of the focusing cubic NLS in R^3 --- by the work of Marzuola-Simpson and Costin-Huang-Schlag.
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