Polynomials Vanishing on Cartesian Products: The Elekes-Szabó Theorem Revisited
Polynomials Vanishing on Cartesian Products: The Elekes-Szabó Theorem Revisited
复制标题
多项式在笛卡尔积上消失：重新审视 Elekes-Szabó 定理
DOI：
10.1215/00127094-3674103
复制
发表时间：
2015
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Frank de Zeeuw
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
O. Raz;M. Sharir;Frank de Zeeuw
设 F 2 C[x； y； z]是常次多项式，设A； B; C 的 C 子集是大小为 n 的有限集。我们证明 F 最多在笛卡尔积 A X B X C 的 O(n(11/6)) 个点上消失，除非 F 具有特殊的群相关形式。这改进了 Elekes 和 Szab 的定理，并推广了 Raz、Sharir 和 Solymosi 的结果。相同的陈述适用于 R，并且类似的陈述适用于 A； B; C 具有不同的大小（用更复杂的边界替换 O(n(11/6)）。这个结果为改进组合几何中各种 Erdos 类型问题的边界提供了一个统一的工具，我们讨论了这种类型的几个应用。
Let F 2 C[x; y; z] be a constant-degree polynomial, and let A; B; C subset of C be finite sets of size n. We show that F vanishes on at most O(n(11/6))points of the Cartesian product A X B X C, unless F has a special group-related form. This improves a theorem of Elekes and Szab and generalizes a result of Raz, Sharir, and Solymosi. The same statement holds over R, and a similar statement holds when A; B; C have different sizes (with a more involved bound replacing O(n(11/6)). This result provides a unified tool for improving bounds in various Erdos-type problems in combinatorial geometry, and we discuss several applications of this kind.