Zonotopal algebra
Zonotopal algebra
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区域拓扑代数
DOI：
10.1016/j.aim.2011.02.012
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发表时间：
2011
期刊：
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--
通讯作者：
中科院分区：
文献类型：
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作者：
RN 的给定线性同态 X 的丰富几何和组合特性在其相关带位素 Z(X) 及其相关超平面排列 H(X) 的研究中被捕获。这个众所周知的研究方向在 n:=rankX≪N 的情况下特别有趣。我们将这项研究提升到代数水平，并将 X 与三个代数结构（本文称为外部、中心和内部）相关联。每个代数结构都以 n 个变量中的一对齐次多项式理想形式给出，这些理想变量彼此对偶：一个对排列 H(X) 的属性进行编码，而另一个则通过带位域 Z(X) 的对偶属性进行编码。代数结构纯粹根据 X 的组合结构来定义，但随后证明可以通过对 Z(X) 或 H(X) 中的任何一个应用适当的代数解析运算来同等地获得。该理论是通用的，因为它不需要对映射 X 进行任何假设（唯一的例外是，Z(X) 上的代数分析运算仅在 X 为幺模的情况下才会产生所需的结果），并且提供了可用于枚举组合学、图论、表示论、多面体几何和逼近论的新工具。
A wealth of geometric and combinatorial properties of a given linear endomorphism X of RNis captured in the study of its associated zonotope Z(X), and, by duality, its associated hyperplane arrangement H(X). This well-known line of study is particularly interesting in case n:=rankX≪N. We enhance this study to an algebraic level, and associate X with three algebraic structures, referred herein as external, central, and internal. Each algebraic structure is given in terms of a pair of homogeneous polynomial ideals in n variables that are dual to each other: one encodes properties of the arrangement H(X), while the other encodes by duality properties of the zonotope Z(X). The algebraic structures are defined purely in terms of the combinatorial structure of X, but are subsequently proved to be equally obtainable by applying suitable algebro-analytic operations to either of Z(X) or H(X). The theory is universal in the sense that it requires no assumptions on the map X (the only exception being that the algebro-analytic operations on Z(X) yield sought-for results only in case X is unimodular), and provides new tools that can be used in enumerative combinatorics, graph theory, representation theory, polytope geometry, and approximation theory.
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