Rigid continuation paths I. Quasilinear average complexity for solving polynomial systems
Rigid continuation paths I. Quasilinear average complexity for solving polynomial systems
复制标题
刚性连续路径 I. 求解多项式系统的拟线性平均复杂度
DOI：
10.1090/jams/938
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发表时间：
2017
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Pierre Lairez
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Pierre Lairez
<p>我们平均需要多少个操作来计算随机高斯多项式系统的近似根？ =“ Math/MathMl”>
<mml：数学xmlns：mml =“ http://www.w3.33.org/1998/math/mathml” alttext =“ left-parenthsis输入大小右 - parthsis superscript 1 superscript 1 Plus of offer-pare 1 Plus offe o suft-ples o seft-pare。
<mml：语义>
<mml：msup>
<mml：mtext>（输入大小）</mml：mtext>
<mml：mrow class =“ mjx-texatom-ord”>
<mml：mn> 1 </mml：mn>
<mml：mo>+</mml：mo>
<mml：mi> o </mml：mi>
<mml：mo strendy =“ false”>（</mml：mo>
<mml：mn> 1 </mml：mn>
<mml：mo strendy =“ false”>）</mml：mo>
</mml：mrow>
</mml：msup>
<mml：注释Encoding =“ application/x-tex”> \ text {（input size）}^{1+o（1）} </mml：注释>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula>。
<mml：数学xmlns：mml =“ http://www.w3.org/1998/math/math/mathml” alttext =“ left-parenthsis输入大小右 - partenthsis supersenthsis superscript superscript supercript三半加上o seft-pare o
<mml：语义>
<mml：msup>
<mml：mtext>（输入大小）</mml：mtext>
<mml：mrow class =“ mjx-texatom-ord”>
<mml：mfrac>
<mml：mn> 3 </mml：mn>
<mml：mn> 2 </mml：mn>
</mml：mfrac>
<mml：mo>+</mml：mo>
<mml：mi> o </mml：mi>
<mml：mo strendy =“ false”>（</mml：mo>
<mml：mn> 1 </mml：mn>
<mml：mo strendy =“ false”>）</mml：mo>
</mml：mrow>
</mml：msup>
<mml：注释Encoding =“ application/x-tex”> \ text {（input size）}^{\ frac 32 +o（1）} </mml：注释>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula>绑定。</p>
<p>新算法依靠沿<Italic>刚性延续路径的数值延续</italic>。更好的平均条件编号，并允许更大的步骤。
<mml：Math XMLNS：MML =“ http://www.w3.org/1998/math/mathml” alttext =“ n”>
<mml：语义>
<mml：mi> n </mml：mi>
<mml：注释Encoding =“ application/x-tex”> n </mml：注释>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula>最多<inline-formula content-type =“ Math/Mathml”>
<mml：数学XMLNS：mml =“ http://www.w3.33.org/1998/math/mathml” alttext =“ upper d”>
<mml：语义>
<mml：mi> d </mml：mi>
<mml：注释Encoding =“ application/x-tex”> d </mml：注释>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> in <inline-formula content-type =“ Math/Mathml”>
<mml：数学XMLNS：mml =“ http://www.w3.org/1998/math/mathml” alttext =“ n plus 1”>
<mml：语义>
<mml：莫罗>
<mml：mi> n </mml：mi>
<mml：mo>+</mml：mo>
<mml：mn> 1 </mml：mn>
</mml：mrow>
<mml：注释Encoding =“ application/x-tex”> n+1 </mml：注释>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula>均质变量<inline-formula content-type =“ Math/Mathml”>
<mml：数学xmlns：mml =“ http://www.w3.33.org/1998/math/mathml” alttext =“上o上o上o左 - 左右n supperscript n supperscript 4基线上d平方
<mml：语义>
<mml：莫罗>
<mml：mi> o </mml：mi>
<mml：mo strendy =“ false”>（</mml：mo>
<mml：msup>
<mml：mi> n </mml：mi>
<mml：mn> 4 </mml：mn>
</mml：msup>
<mml：msup>
<mml：mi> d </mml：mi>
<mml：mn> 2 </mml：mn>
</mml：msup>
<mml：mo strendy =“ false”>）</mml：mo>
</mml：mrow>
<mml：注释Encoding =“ application/x-tex”> o（n^4 d^2）</mml：注释>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula>继续步骤。
<mml：数学XMLNS：mml =“ http://www.w3.33.org/1998/math/mathml” alttext =“ Startroot 2 endroot 2 endroot supperscript superscript superscript supperscript min left-prema less left-prema n comma n comma n comma上d右d右 - 右 - 右 - >
<mml：语义>
<mml：msup>
<mml：msqrt>
<mml：mn> 2 </mml：mn>
</mml：msqrt>
<mml：mrow class =“ mjx-texatom-ord”>
<mml：mo movableLimits =“ true” form =“ prefix”> min </mml：mo>
<mml：mo strendy =“ false”>（</mml：mo>
<mml：mi> n </mml：mi>
<mml：mo>，</mml：mo>
<mml：mi> d </mml：mi>
<mml：mo strendy =“ false”>）</mml：mo>
</mml：mrow>
</mml：msup>
<mml：注释Encoding =“ application/x-tex”> \ sqrt {2}^{\ min（n，d）} </mml：注释>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula>平均延续步骤。</p>
<p>How many operations do we need on average to compute an approximate root of a random Gaussian polynomial system? Beyond Smale’s 17th problem that asked whether a polynomial bound is possible, we prove a quasi-optimal bound <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis input size right-parenthesis Superscript 1 plus o left-parenthesis 1 right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mtext>(input size)</mml:mtext>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>o</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\text {(input size)}^{1+o(1)}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. This improves upon the previously known <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis input size right-parenthesis Superscript three halves plus o left-parenthesis 1 right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mtext>(input size)</mml:mtext>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mfrac>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>o</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\text {(input size)}^{\frac 32 +o(1)}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> bound.</p>
<p>The new algorithm relies on numerical continuation along <italic>rigid continuation paths</italic>. The central idea is to consider rigid motions of the equations rather than line segments in the linear space of all polynomial systems. This leads to a better average condition number and allows for bigger steps. We show that on average, we can compute one approximate root of a random Gaussian polynomial system of <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n">
<mml:semantics>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> equations of degree at most <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D">
<mml:semantics>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n plus 1">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">n+1</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> homogeneous variables with <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O left-parenthesis n Superscript 4 Baseline upper D squared right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">O(n^4 D^2)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> continuation steps. This is a decisive improvement over previous bounds that prove no better than <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartRoot 2 EndRoot Superscript min left-parenthesis n comma upper D right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:msqrt>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msqrt>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo movablelimits="true" form="prefix">min</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\sqrt {2}^{\min (n, D)}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> continuation steps on average.</p>
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DOI：
10.1007/978-3-642-38896-5
发表时间：
2013-08
期刊：
--
影响因子：
--
作者：
Peter Bürgisser;F. Cucker
通讯作者：
Peter Bürgisser;F. Cucker
特征对问题的稳定多项式时间算法
DOI：
10.4171/jems/789
发表时间：
2018
期刊：
arXiv: Numerical Analysis
影响因子：
--
作者：
D. Armentano;C. Beltrán;P. Bürgisser;F. Cucker;M. Shub
通讯作者：
M. Shub
概率舒伯特演算
DOI：
10.1515/crelle-2018-0009
发表时间：
2018
期刊：
Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)
影响因子：
--
作者：
P. Bürgisser;A. Lerario
通讯作者：
A. Lerario
一种在多项式平均时间内计算多项式系统近似根的确定性算法
影响因子：
3
作者：
P. Lairez
通讯作者：
P. Lairez