Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten.
Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten.
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DOI：
10.1515/crll.1857.53.173
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期刊：
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通讯作者：
L. Kronecker
中科院分区：
文献类型：
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作者：
L. Kronecker
如果一个整系数方程（其中首项系数为1）的所有根都是虚数，且它们的模都等于1，那么这些根必定是单位根。
证明：设a，b，c，…是方程F(x)=x^n + Ax^(n - 1) + Bx^(n - 2) - Cx^(n - 3)+…+N = 0的根，其中A，B，C，…，N为整数。由于现在根a，b，c，…都应该是模为1的纯虚数，所以设\(\sqrt{-1}\)用\(i\)表示，则有：a = cosα + isinα，b = cosβ + isinβ，c = cosγ + isinγ…。于是，如果系数A，B，C，…用根来表示，则有：A = cosα + cosβ + cosγ +… -
L W enn die Wurzeln einer ganzzahligen Gleichung, in welcher der erste Coefficient Eins ist, alle imaginär und ihre analytischen Moduln sämmtlich gleich Eins sind, so müssen dieselben stets Wurzeln der Einheit sein. Beweis. Es seien a, b, c, ... die Wurzeln der Gleichung: F(x) = xAx~ -f Bx~ — Cx~* -f . · . -f JV = 0, in welcher A, B, C, . . . N ganze Zahlen bedeuten. Da nun die Wurzeln a, b, c, . . . lauter imaginäre Gröfsen mit dem Modul Eins sein sollen, so setze man, indem man }/ — l mit t bezeichnet: a = cosa-jisina, b = cos/3 -f islnß, c = cosy-jisin^ . . . Alsdann erhält man, wenn die Coefficienten A, B, C, . . . durch die Wurzeln ausgedrückt werden: A = cos a -\-cos -\-cosy~}··· —