A Radial Basis Function (RBF)-Finite Difference (FD) Method for Diffusion and Reaction-Diffusion Equations on Surfaces.
A Radial Basis Function (RBF)-Finite Difference (FD) Method for Diffusion and Reaction-Diffusion Equations on Surfaces.
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径向基函数（RBF） - 细节差（FD）方法，用于表面上的扩散和反应扩散方程。
DOI：
10.1007/s10915-014-9914-1
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发表时间：
2016-06-01
影响因子：
2.5
通讯作者：
Fogelson, Aaron L.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Shankar, Varun;Wright, Grady B.;Kirby, Robert M.;Fogelson, Aaron L.
关键词：
本文提出了一种基于径向基函数生成的有限差分方法来数值求解嵌入在ℝd中的闭曲面上的扩散方程和反应扩散方程。我们的方法采用直线法，其中出现的曲面导数用径向基函数插值局部逼近。该方法只需要表示曲面的散乱节点和这些散乱节点上的法线向量。所有的计算都只使用外部坐标，从而避免了坐标扭曲和奇点。我们还提出了一个优化过程，通过为每个模板选择对应于全局目标条件数的形状参数，允许稳定由我们的RBF-FD方法生成的离散微分算子。我们证明了我们的方法在两个不同模板尺寸的曲面上的收敛，并给出了在隐式/参数曲面和更一般的由点云表示的曲面上模拟的非线性偏微分方程组的应用。
In this paper, we present a method based on Radial Basis Function (RBF)-generated Finite Differences (FD) for numerically solving diffusion and reaction-diffusion equations (PDEs) on closed surfaces embedded in ℝd. Our method uses a method-of-lines formulation, in which surface derivatives that appear in the PDEs are approximated locally using RBF interpolation. The method requires only scattered nodes representing the surface and normal vectors at those scattered nodes. All computations use only extrinsic coordinates, thereby avoiding coordinate distortions and singularities. We also present an optimization procedure that allows for the stabilization of the discrete differential operators generated by our RBF-FD method by selecting shape parameters for each stencil that correspond to a global target condition number. We show the convergence of our method on two surfaces for different stencil sizes, and present applications to nonlinear PDEs simulated both on implicit/parametric surfaces and more general surfaces represented by point clouds.
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