Nonlinear Modulational Instability of Dispersive PDE Models
Nonlinear Modulational Instability of Dispersive PDE Models
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色散偏微分方程模型的非线性调制不稳定性
DOI：
10.1007/s00205-018-1303-8
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发表时间：
2019
影响因子：
2.5
通讯作者：
Lin, Zhiwu
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Jin, Jiayin;Liao, Shasha;Lin, Zhiwu
我们证明了几个色散偏微分方程周期行波周期扰动和局域扰动的非线性调制不稳定性，包括KDV型方程（例如Whitham方程、广义KDV方程、Benjamin-Ono方程）、非线性Schrödinger方程和BBM方程。首先，利用线性化偏微分方程的哈密顿结构得到非线性证明所需的半群估计。其次，对于KDV型方程，在两种互补情况下克服了非线性项的导数损失：(1)对于光滑非线性项和一般色散算子，我们构造了高阶逼近解，然后使用能量型估计；(2)对于低正则性的非线性项，通过对色散算子的一些附加假设，利用自举参数克服了导数的损失。
We prove nonlinear modulational instability for both periodic and localized perturbations of periodic traveling waves for several dispersive PDEs, including the KDV type equations (for example the Whitham equation, the generalized KDV equation, the Benjamin–Ono equation), the nonlinear Schrödinger equation and the BBM equation. First, the semigroup estimates required for the nonlinear proof are obtained by using the Hamiltonian structures of the linearized PDEs. Second, for the KDV type equations the loss of derivative in the nonlinear terms is overcome in two complementary cases: (1) for smooth nonlinear terms and general dispersive operators, we construct higher order approximation solutions and then use energy type estimates; (2) for nonlinear terms of low regularity, with some additional assumptions on the dispersive operator, we use a bootstrap argument to overcome the loss of a derivative.
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