The nonzero gain coefficients of Sobol's sequences are always powers of two
The nonzero gain coefficients of Sobol's sequences are always powers of two
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Sobol 序列的非零增益系数始终是 2 的幂
DOI：
10.1016/j.jco.2022.101700
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发表时间：
2021
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
A. Owen
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Z. Pan;A. Owen
摘要：当对 n 个样本的简单蒙特卡罗估计的方差为 σ 2/n 时，当 n→∞ 时，加扰数字网络的方差为 o (1/n)。对于有限的 n 和对抗性选择的被积函数，对于最大增益系数 Γ<∞，加扰 (t, m, s)-net 的方差最多可以为 Γ σ 2/n。使用最广泛的数字网络和序列是 Sobol' 的数字网络和序列。之前已知对于以 2 为基数的任何网络， Γ⩽ 2 t 3 s。对于数字网络，Dick 和 Pillichshammer (2010) 获得了边界 2 t+ s。在本文中，我们研究以 2 为基数的数字网络，并证明此类网络的 Γ⩽ 2 t+ s− 1。这个界限是 Niederreiter 和 Pirsic 在 2001 年进行微观结构分析的一个简单但显然未被注意到的结果。对于某些数字网络，我们获得了一个比这个更小的界限。我们的主要发现是所有非零增益系数必须是 2 的幂。后一个事实的结果是计算基数为 2 的数字网络增益系数的简化算法。
Abstract When a plain Monte Carlo estimate on n samples has variance σ 2/n, then scrambled digital nets attain a variance that is o (1/n) as n→∞. For finite n and an adversarially selected integrand, the variance of a scrambled (t, m, s)-net can be at most Γ σ 2/n for a maximal gain coefficient Γ<∞. The most widely used digital nets and sequences are those of Sobol'. It was previously known that Γ⩽ 2 t 3 s for any nets in base 2. For digital nets, Dick and Pillichshammer (2010) obtained the bound 2 t+ s. In this paper we study digital nets in base 2 and show that Γ⩽ 2 t+ s− 1 for such nets. This bound is a simple, but apparently unnoticed, consequence of a microstructure analysis by Niederreiter and Pirsic in 2001. We obtain a sharper bound that is smaller than this for some digital nets. Our main finding is that all nonzero gain coefficients must be powers of two. A consequence of this latter fact is a simplified algorithm for computing gain coefficients of digital nets in base 2.
“分期意识形态”（1986）
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