ESTIMATION OF A MULTIVARIATE DENSITY
ESTIMATION OF A MULTIVARIATE DENSITY
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DOI：
10.1007/bf02869528
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发表时间：
1966-01-01
影响因子：
1
通讯作者：
CACOULLOS, T
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
CACOULLOS, T
Parzen [2] 基于 f (z) 的随机样本 XI,..-, X~ 给出了单变量密度函数 f(z) 的一类估计值 f~(z) 的渐近性质。 f~(z) 的形式为 n，其中 h= h (n)---> O as n--> oo 且 K (z) 是有界函数，使得 l~: K (z) dx= l 且 [ylJK (y) l---> O as [yJ~ oo。我们的目的是表明如何调整 f,(z) 来提供多元密度的估计。实际上，这里的扩展是在两个方向上进行的，对应于核 K 的两种一般形式，如定理 2.1 和 4.1 中给出的。通过使用下面的定理 2.1 和对 [2] 中的定理的直接修改，可以很容易地得出有关 fn 的一致性、渐近无偏性以及偏差和均方误差的界限的结果。关于渐近正态性，我们在这里给出更强的结果，即估计值 f~ 在 f 的连续点处的联合渐近正态性（定理 3.5）。最后，第 4 节研究了基于乘积核的估计的有趣案例。
Parzen [2] gave the asymptotic properties of a class of estimates f~(z) of a univariate density function f (z) on the basis of a random sample XI,..-, X~ from f (z). f~(z) is of the form n where h= h (n)---> O as n--> oo and K (z) a bounded function such that l~: K (z) dx= l and [ylJK (y) l---> O as [yJ~ oo. Our purpose is to indicate how the f,(z) can be adapted to provide estimates of a multivariate density. Actually here the extension is carried out in two directions corresponding to the two general forms of kernels K, as given in Theorems 2.1 and 4.1.The results concern'ng the consistency, asymptotic unbiasedness, and bounds for bias and mean square error of fn follow very easily by using Theorem 2.1 below and straightforward modifications of those in [2]. With respect to asymptotic normality we give here a stronger result, namely, the joint asymptotic normality of the estimates f~ at continuity points of f (Theorem 3.5). Finally, the interesting case of estimates based on product kernels is studied in Section 4.