$l$-independence of the trace of monodromy
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$l$-单一性痕迹的独立性
DOI：
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发表时间：
1999
期刊：
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通讯作者：
T. Ochiai
中科院分区：
文献类型：
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作者：
T. Ochiai
令 X 为混合特征局部域 K 上的真光滑簇，令 l 为与 K 的留数域特征不同的素数。令 IK 为 GK := Gal(K/K) 的惯性子群。我们的主要结果是 H(X,Ql) 上 g ∈ IK 迹的交替和的 l 独立性及其与 p 进上同调迹的比较。 0.引言 设 K 是一个具有有限留数域 Fph 的完全离散估值域，GK 是 K 的绝对伽罗瓦群，IK 是 GK 的惯性子群，WK 是 K 的韦尔群。回想一下，韦尔群是由以下精确序列定义的 GK 子群： 0 −→ IK −→ WK u −→ Z −→ Z/hZ −→ 0 ∥ ∩ ∩ ∥ 0 −→ IK −→ GK −→ Gal(Fp/Fp) −→ Gal(Fph/Fp) −→ 0，其中映射 u 由几何 Frobenius f 的 g 7−→ f 定义： Gal(Fp/Fp) ∼= Ẑ 中的 x 7−→ x 并且 F 表示 F 对于任何域 F 的可分离闭包。我们定义 WK 的子集 WK 为 WK := {g ∈ WK |u(g) ≥ 0}。令 X 为 K 上的变体（在整篇论文中，域 K 上的变体 X 表示一个简化的不可约方案 X 分离且为 K 上的有限类型）。在本文中，X 表示标量扩展 X ⊗ K K。我们用 l 表示素数 = p。我们考虑 W K 或 WK 元素在紧支撑 etale 上同调 H c(X,Ql) := lim ←− n H c(X,Z/lZ) ⊗ Zl Ql 上的作用迹。让我们回忆一下下面这个经典猜想。猜想([S-T])。对于 K 上的任何变量 X 且 g ∈ W K ，Tr(g*;Hi c(X,Ql)) 是一个有理整数，与 l 的选择无关。评论。如果 X 是 d 维真光滑簇，则上述猜想对于 i = 0, 1, 2d−1, 2d [SGA7-1]成立。如果 X 具有良好的约简，则由于 P. Deligne [De] 证明的 Weil 猜想，上述猜想对于任何 i 都成立。在本文中，我们将证明该猜想的以下弱版本： Typeset by AMS-TEX 1
Let X be a proper smooth variety over a local field K of mixed characteristics and let l be a prime number different from the characteristic of the residue field of K. Let IK be the inertia subgroup of GK := Gal(K/K). Our main result is the l-independence of the alternating sum of traces of g ∈ IK on H(X,Ql) and its comparison with the traces on p -adic cohomology. 0.Introduction Let K be a complete discrete valuation field with finite residue field Fph , GK the absolute Galois group of K, IK the inertia subgroup of GK and WK the Weil group of K. Recall that the Weil group is a subgroup of GK defined by the following exact sequence: 0 −→ IK −→ WK u −→ Z −→ Z/hZ −→ 0 ∥ ∩ ∩ ∥ 0 −→ IK −→ GK −→ Gal(Fp/Fp) −→ Gal(Fph/Fp) −→ 0, where the map u is defined by g 7−→ f for the geometric Frobenius f : x 7−→ x in Gal(Fp/Fp) ∼= Ẑ and F denotes the separable closure of F for any field F . We define a subset W K of WK to be W K := {g ∈ WK |u(g) ≥ 0}. Let X be a variety over K (Throughout the paper, a variety X over a field K means a reduced irreducible scheme X separated and of finite type over K). Throughout this paper, X means the scalar extension X ⊗ K K. We denote by l a prime number = p. We consider the traces of the action of elements of W K or WK on the compact support etale cohomology H c(X,Ql) := lim ←− n H c(X,Z/lZ) ⊗ Zl Ql. Let us recall the following classical conjecture. Conjecture([S-T]). For any variety X over K and g ∈ W K , Tr(g∗;Hi c(X,Ql)) is a rational integer which is independent of the choice of l. Remark. If X is a d-dimensional proper smooth variety, the conjecture above holds for i = 0, 1, 2d−1, 2d [SGA7-1]. If X has good reduction, the above conjecture is true for any i due to the Weil conjecture proved by P. Deligne [De]. In this paper, we shall prove the following weak versions of the conjecture: Typeset by AMS-TEX 1