Exponents of Diophantine approximation and expansions in integer bases
Exponents of Diophantine approximation and expansions in integer bases
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DOI：
10.1112/jlms/jdp070
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发表时间：
2010-04
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
M. Amou;Y. Bugeaud
中科院分区：
文献类型：
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作者：
M. Amou;Y. Bugeaud
设 ϋ 为实数，b ⩾ 2 为整数。设 vb(xi) 或 v′b(xi) 表示实数 v 的上界，对于该实数 v，方程 ‖bn ψ‖ ⩽ (bn)−v 或 ‖br (bs−1) ψ‖ ⩽ (br+s)−v 分别在正整数 n 或 r 和 s 中具有无穷多个解。这里，“·”表示到最接近整数的距离。还令 v1 (xi) 表示实数 v 的上界，对于该实数 v，方程 ‖q ψ‖ < q−v 在正整数 q 中具有无穷多个解。出于是否可以读取实数 b 进制展开式的无理指数这一问题的动机，我们在实数点评估的函数三元组 (v1, vb, v′b) 所取值的集合上建立了各种结果。
Let ξ be a real number and let b ⩾ 2 be an integer. Let vb(ξ) or v′b(ξ) denote the supremum of the real numbers v for which the equation ‖bn ξ‖ ⩽ (bn)−v or ‖br (bs−1) ξ‖ ⩽ (br+s)−v has infinitely many solutions in positive integers n or r and s, respectively. Here, ‖·‖ stands for the distance to the nearest integer. Also let v1 (ξ) denote the supremum of the real numbers v for which the equation ‖q ξ‖ < q−v has infinitely many solutions in positive integers q. Motivated by the question whether one can read the irrationality exponent of a real number on its b‐ary expansion, we establish various results on the set of values taken by the triple of functions (v1, vb, v′b) evaluated at real points.