Continuity properties of k-plane integrals and Besicovitch sets
Continuity properties of k-plane integrals and Besicovitch sets
复制标题
k 平面积分和贝西科维奇集的连续性性质
DOI：
10.1017/s0305004100056681
复制
发表时间：
1980
影响因子：
0.8
通讯作者：
K. Falconer
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
K. Falconer
令 Π 为 Rn(n ≥ 2) 的 k 维子空间，并令 Π┴ 表示其正交补。如果 x ∈ Rn，我们应写成 x = x0 + x′，其中 x0 ∈ Π 且 x′ ∈ Π ┴。如果 f(x) 是 Rn 上的实数可测函数，则 k 平面积分 F(Π,x′ ) 定义为 f 在仿射子空间 Π + x′ 上关于 k 维勒贝格测度的积分（假设积分存在）。如果 k = 1，我们得到放射照相重建问题中出现的 x 射线变换，如果 k = n − 1，则 k 平面积分是通常的投影或 Radon 变换。 Smith、Solmon 和 Wagner (4) 的论文包含对 k 平面积分结果的调查。在这里，我们将对 F (Π, x′ ) 的行为感兴趣，该函数被视为 x′ 的函数，对于各种函数 f 类，固定 Π 。对于几乎所有 Π（在适当的哈尔测度的意义上），我们将获得关于 F(Π,x') 相对于 x' 的连续性和可微性的一些令人惊讶的强大结果。正如我们将看到的，维度 n 和 k 对可说的内容具有至关重要的影响，并且我们的大多数结果将仅限于 k > ½n 的情况。
Let Π be a k-dimensional subspace of Rn(n ≥ 2) and let Π┴ denote its orthogonal complement. If x ∈ Rn we shall write x = x0 + x′ with x0 ∈ Πand x′ ∈ Π ┴. If f(x) is a real measurable function on Rn, the k-plane integral F(Π,x′ )is defined as the integral of f over the affine subspace Π + x′ with respect to k-dimensional Lebesgue measure (assuming that the integral exists). If k = 1 we get the x-ray transform that arises in the problem of radiographic reconstruction, and if k = n − 1, the k-plane integral is the usual projection or Radon transform. The paper by Smith, Solmon and Wagner (4) contains a survey of results on k-plane integrals. Here we shall be interested in the behaviour of the F (Π, x′ ) regarded as a function of x′ for fixed Π for various classes of function f. We shall obtain some surprisingly strong results on the continuity and differentiability of F(Π,x′) with respect to x′ for almost all Π (in the sense of the appropriate Haar measure). As will be seen the dimensions n and k have a crucial effect on what may be said, and most of our results will be confined to the cases where k > ½n.