Quaternionic Grassmannians and Borel classes in algebraic geometry
Quaternionic Grassmannians and Borel classes in algebraic geometry
复制标题
代数几何中的四元格拉斯曼式和 Borel 类
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发表时间：
2021
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
C. Walter
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
I. Panin;C. Walter
<p>四元格拉斯曼式 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H upper G r 左括号 r 逗号 n 右括号">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mi>H Gr</mml:mi>
<mml:mo><!-- --></mml:mo>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml：月>，</mml：月>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">操作符名称 {H Gr}(r,n)</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 是通常的格拉斯曼参数化的仿射开放子方案 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 r">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>r</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">2r</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> 的维子空间
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 n">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">2n</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula>维辛向量空间，其辛形式是非简并的。特别是，我们有 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H upper P 上标 n 基线等于 upper H upper G r 左括号 1 个逗号加 1 个右括号">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>生命值</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml：msup>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>H Gr</mml:mi>
<mml:mo><!-- --></mml:mo>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml：月>，</mml：月>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:月>+</mml:月>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">操作符名称 {HP}^n = 操作符名称 {H Gr}(1,n+1)</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</内联公式>。对于辛导向的上同调理论 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A">
<mml：语义>
<mml:mi>一个</mml:mi>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">A</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula>，包括定向理论以及埃尔米特<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="正常上K">
<mml：语义>
<mml:mi mathvariant="normal">K</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">操作符名称 {K}</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula>-理论、维特群和代数辛协边，我们有 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="上 A 左括号 上 H 上 P 上标 n 基线右括号等于上 A 左括号 p t 右括号左括号 p 右括号斜杠左括号 p 上标 n 加 1 基线右括号">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mi>一个</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>生命值</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml：msup>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>一个</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>pt</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mostretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">]</mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml：月>/</mml：月>
</mml:mrow>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:月>+</mml:月>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml：msup>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A(操作符名称 {HP}^n) = A(操作符名称 {pt})[p]/(p^{n+1})</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</内联公式>。文中介绍了辛丛的 Borel 类。它们满足分裂原理和嘉当和公式，用于计算四元数格拉斯曼函数的上同调。在面向辛的理论中，Thom 类的秩为 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2">
<mml：语义>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">2</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula>辛丛确定所有辛丛的Thom和Borel类，并且辛Thom类可以从Borel类中恢复。</p>
<p><inline-formula content-type="math/mathml"> 的单元格结构
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H upper G r 左括号 r 逗号 n 右括号">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mi>H Gr</mml:mi>
<mml:mo><!-- --></mml:mo>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml：月>，</mml：月>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">操作符名称 {H Gr}(r,n)</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 存在于上同调中，但很难从几何角度看到它的一部分。一个例外是 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="上 H 上 P 上标 n">
<mml：语义>
<mml:msup>
<mml:mi>生命值</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml：msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">操作员名称 {HP}^n</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 其中 codimension 的单元格 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 i">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>我</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">2i</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 是 <inline-formula content-type="math/mathml"> 的拟仿射商
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="双打大写 A 上标 4 n 减 2 i 加 1">
<mml：语义>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">A</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>我</mml:mi>
<mml:月>+</mml:月>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml：msup>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">mathbb {A}^{4n-2i+1}</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 通过 <inline-formula content-type="math/mathml"> 的非线性作用
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="双打上 G 下标 a">
<mml：语义>
<mml:msub>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>一个</mml:mi>
</mml：msub>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">mathbb {G}_a</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</内联公式>。</p>
<p>The quaternionic Grassmannian <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H upper G r left-parenthesis r comma n right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>H Gr</mml:mi>
<mml:mo><!-- --></mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">operatorname {H Gr}(r,n)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> is the affine open subscheme of the usual Grassmannian parametrizing those <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 r">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>r</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">2r</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>-dimensional subspaces of a <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 n">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">2n</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>-dimensional symplectic vector space on which the symplectic form is nondegenerate. In particular, we have <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H upper P Superscript n Baseline equals upper H upper G r left-parenthesis 1 comma n plus 1 right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>HP</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>H Gr</mml:mi>
<mml:mo><!-- --></mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">operatorname {HP}^n = operatorname {H Gr}(1,n+1)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. For a symplectically oriented cohomology theory <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A">
<mml:semantics>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, including oriented theories but also the Hermitian <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper K">
<mml:semantics>
<mml:mi mathvariant="normal">K</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">operatorname {K}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>-theory, Witt groups, and algebraic symplectic cobordism, we have <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A left-parenthesis upper H upper P Superscript n Baseline right-parenthesis equals upper A left-parenthesis p t right-parenthesis left-bracket p right-bracket slash left-parenthesis p Superscript n plus 1 Baseline right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>HP</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>pt</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mo>/</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A(operatorname {HP}^n) = A(operatorname {pt})[p]/(p^{n+1})</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. Borel classes for symplectic bundles are introduced in the paper. They satisfy the splitting principle and the Cartan sum formula, and they are used to calculate the cohomology of quaternionic Grassmannians. In a symplectically oriented theory the Thom classes of rank <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2">
<mml:semantics>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> symplectic bundles determine Thom and Borel classes for all symplectic bundles, and the symplectic Thom classes can be recovered from the Borel classes.</p>
<p>The cell structure of the <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H upper G r left-parenthesis r comma n right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>H Gr</mml:mi>
<mml:mo><!-- --></mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">operatorname {H Gr}(r,n)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> exists in cohomology, but it is difficult to see more than part of it geometrically. An exception is <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H upper P Superscript n">
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mi>HP</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">operatorname {HP}^n</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> where the cell of codimension <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 i">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">2i</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> is a quasi-affine quotient of <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper A Superscript 4 n minus 2 i plus 1">
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">A</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">mathbb {A}^{4n-2i+1}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> by a nonlinear action of <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper G Subscript a">
<mml:semantics>
<mml:msub>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">mathbb {G}_a</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>