On the exponent of finite-dimensional Hopf algebras
On the exponent of finite-dimensional Hopf algebras
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关于有限维Hopf代数的指数
DOI：
10.4310/mrl.1999.v6.n2.a1
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发表时间：
1998
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Shlomo Gelaki
中科院分区：
文献类型：
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作者：
P. Etingof;Shlomo Gelaki
群论的经典概念之一是群的指数的概念。一个群的指数是它的元素的阶的最小公倍数。
本文将指数的概念推广到Hopf代数。给出了指数的五种等价定义。其中两个是：1）H的指数等于量子偶D（H）的Drinfeld元u的阶; 2）H的指数是作用在D（H）的正则表示的张量平方中的平方brading的阶。
我们证明了指数在扭曲下是不变的。我们证明了对于半单和余半单的Hopf代数H，指数是有限的并且能整除dim（H）^[3]。对于特征为零的三角Hopf代数，我们证明了dim（H）的指数整除.我们猜想，如果H是半单和余半单的，那么指数总是整除dim（H）。
在最后，我们制定了一些开放的问题，特别是建议制定一个可能的Hopf代数模拟的Sylow定理。
One of the classical notions of group theory is the notion of the exponent of a group. The exponent of a group is the least common multiple of orders of its elements.
In this paper we generalize the notion of exponent to Hopf algebras. We give five equivalent definitions of the exponent. Two of them are: 1) the exponent of H equals the order of the Drinfeld element u of the quantum double D(H); 2) the exponent of H is the order of the squared brading acting in the tensor square of the regular representation of D(H).
We show that the exponent is invariant under twisting. We prove that for semisimple and cosemisimple Hopf algebras H, the exponent is finite and divides dim(H)^3. For triangular Hopf algebras in characteristic zero, we show that the exponent divides dim(H). We conjecture that if H is semisimple and cosemisimple then the exponent always divides dim(H).
At the end we formulate some open questions, in particular suggest a formulation for a possible Hopf algebraic analogue of Sylow's theorem.