Universal covers of finite groups
Universal covers of finite groups
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有限群的通用覆盖
DOI：
10.1016/j.jalgebra.2020.10.032
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发表时间：
2021
影响因子：
0.9
通讯作者：
Hulpke, Alexander
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Dietrich, Heiko;Hulpke, Alexander
由于商算法（如著名的p商或可解商算法）在计算有限群信息方面的成功，我们描述了如何通过同构简单Z p H模的直接和来计算有限群H的有限扩展H ~，使得H和H ~具有相同数量的生成器。与其他商算法类似，我们的描述将通过一个合适的覆盖组H.定义这个覆盖组需要研究表示模块，如gasch<e:1>兹在1954年引入的。我们的研究涉及到所谓的福克斯导数（来自自由微分学），作为副产品，我们证明了这些可以通过圈积构造自然地描述。我们的结果的一个重要应用是他们可以用来计算,对于一个给定的满射G→H和简单的Z p H-module V, G的最大系数与内核同构映射到H的直和副本的诉我们还提供一个描述如何计算第二上同调组(不一定可以解决的)H组,假设汇合的重写系统H代表相应的组扩展在电脑上,我们引入了一种新的混合格式，将这种重写系统与模块的多循环表示相结合。
Motivated by the success of quotient algorithms, such as the well-known p-quotient or solvable quotient algorithms, in computing information about finite groups, we describe how to compute finite extensions H˜ of a finite group H by a direct sum of isomorphic simple Z p H-modules such that H and H˜ have the same number of generators. Similar to other quotient algorithms, our description will be via a suitable covering group of H. Defining this covering group requires a study of the representation module, as introduced by Gaschütz in 1954. Our investigation involves so-called Fox derivatives (coming from free differential calculus) and, as a by-product, we prove that these can be naturally described via a wreath product construction. An important application of our results is that they can be used to compute, for a given epimorphism G→ H and simple Z p H-module V, the largest quotient of G that maps onto H with kernel isomorphic to a direct sum of copies of V. For this we also provide a description of how to compute second cohomology groups for the (not necessarily solvable) group H, assuming a confluent rewriting system for H. To represent the corresponding group extensions on a computer, we introduce a new hybrid format that combines this rewriting system with the polycyclic presentation of the module.
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