Berry–Esseen type bounds for the left random walk on GLd(R) under polynomial moment conditions
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DOI：
10.1214/22-aop1602
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发表时间：
2022-11
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
C. Cuny;J. Dedecker;F. Merlevède;M. Peligrad
中科院分区：
文献类型：
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作者：
C. Cuny;J. Dedecker;F. Merlevède;M. Peligrad
设$A_n= \vareps_n \cdots\varepsilon_1 $，其中$（\vareps_n）_{n \geq 1}$是取值于$ GL_d（\mathbb R）$，$d \geq 2$的独立随机矩阵序列，具有公共分布$\mu$。本文在$\mu$（强不可约性和逼近性）的标准假设下，当$\mu$具有多项式矩时，我们证明了$\log（\Vert A_n \Vert）$的Berry-Esseen型定理。更准确地说，当$\mu$有阶矩$q \in ] 2，3]$时，我们得到速率$（（\log n）/ n）^{q/2-1}$，当$\mu$有阶矩$4$时，我们得到速率$1/ \sqrt{n} $，这显著地改进了这种设置下的早期结果。
Let $A_n= \varepsilon_n \cdots \varepsilon_1$, where $(\varepsilon_n)_{n \geq 1}$ is a sequence of independent random matrices taking values in $ GL_d(\mathbb R)$, $d \geq 2$, with common distribution $\mu$. In this paper, under standard assumptions on $\mu$ (strong irreducibility and proximality), we prove Berry-Esseen type theorems for $\log ( \Vert A_n \Vert)$ when $\mu$ has a polynomial moment. More precisely, we get the rate $((\log n) / n)^{q/2-1}$ when $\mu$ has a moment of order $q \in ]2,3]$ and the rate $1/ \sqrt{n} $ when $\mu$ has a moment of order $4$, which significantly improves earlier results in this setting.