Locally interacting diffusions as Markov random fields on path space
Locally interacting diffusions as Markov random fields on path space
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作为路径空间上的马尔可夫随机场的局部相互作用扩散
DOI：
10.1016/j.spa.2021.06.007
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发表时间：
2021
影响因子：
1.4
通讯作者：
Wu, Ruoyu
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Lacker, Daniel;Ramanan, Kavita;Wu, Ruoyu
我们考虑一个可数系统的相互作用（可能非马尔可夫）随机微分方程驱动的独立的布朗运动和索引的顶点的局部有限图G=（V，E）。过程在每个顶点的漂移受该顶点及其相邻顶点的状态影响，扩散系数仅取决于该顶点的状态。这些过程出现在各种应用中，包括统计物理学，神经科学，工程和数学金融。在系数的一般条件下，证明了如果初始条件在d维欧氏空间上形成二阶马尔可夫随机场，则在任意正时刻，过程在不同顶点的历史的集合在路径空间上形成二阶马尔可夫随机场.我们还建立了（Rd）V上的（二阶）Gibbs测度（具有有限的二阶矩）和路径空间上的一组（二阶）Gibbs测度之间的双射，分别对应于随机微分方程的初始律和解的律.作为推论，我们建立了一个吉布斯唯一性的性质，表明无限图的联合分布的路径是完全由初始条件和规格，即家庭的条件分布有限顶点集给定的配置上的补充。沿着的方式，我们建立了近似和投影结果的马尔可夫随机场的局部有限图，可能是独立的利益。
We consider a countable system of interacting (possibly non-Markovian) stochastic differential equations driven by independent Brownian motions and indexed by the vertices of a locally finite graph G=(V, E). The drift of the process at each vertex is influenced by the states of that vertex and its neighbors, and the diffusion coefficient depends on the state of only that vertex. Such processes arise in a variety of applications including statistical physics, neuroscience, engineering and math finance. Under general conditions on the coefficients, we show that if the initial conditions form a second-order Markov random field on d-dimensional Euclidean space, then at any positive time, the collection of histories of the processes at different vertices forms a second-order Markov random field on path space. We also establish a bijection between (second-order) Gibbs measures on (R d) V (with finite second moments) and a set of (second-order) Gibbs measures on path space, corresponding respectively to the initial law and the law of the solution to the stochastic differential equation. As a corollary, we establish a Gibbs uniqueness property that shows that for infinite graphs the joint distribution of the paths is completely determined by the initial condition and the specifications, namely the family of conditional distributions on finite vertex sets given the configuration on the complement. Along the way, we establish approximation and projection results for Markov random fields on locally finite graphs that may be of independent interest.
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