Cohomology of Quantized Function Algebras at Roots of Unity
Cohomology of Quantized Function Algebras at Roots of Unity
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单位根处量化函数代数的上同调
DOI：
10.1112/s002461150001217x
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发表时间：
2000
影响因子：
1.8
通讯作者：
I. Gordon
中科院分区：
文献类型：
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作者：
I. Gordon
令 G 为 k 上的单连通半单代数群，即特征零的代数闭域。令 Oε[G] 为 G 在单位 ε 的第 l 次本原根处的量化函数代数，并令 Oϵ[G] 为 ε 处的“受限”量化函数代数，这是通过分解中心生成的理想从 Oε[G] 获得的有限维 k 代数。已知 Oϵ[G]¯ 是 Hopf 代数。我们研究上同调环 ExtOϵ[G] ́*(k,k) ，一个分级交换代数，并且对于任何有限维 Oϵ[G]́ 模块 M，研究 ExtOϵ[G]́*(k,k) 模块 ExtOϵ[G]́*(k,M) 。我们证明，对于足够大的 l，存在分级代数 ExtOϵ[G]¯*(k,k)≅k[X1,…,X2N] 的同构，其中每个 Xi 都是 2 次齐次的，并且 2N 等于与 G 相关的根的数量。此外，我们证明在这种情况下 ExtOϵ[G]¯*(k,M) 是有限生成的ExtOϵ[G]¯*(k,k) ‐模。我们还表明，在 l 上的限制少得多的条件下，ExtOϵ[G]́*(k,k) 仍然是一个有限生成的分级交换代数，其中 ExtOϵ[G]́*(k,M) 是一个有限生成的模块。 1991 年数学科目分类：16W30、17B37、17B56。
Let G be a simply‐connected, semisimple algebraic group over k, an algebraically closed field of characteristic zero. Let Oε[G] be the quantized function algebra of G at a primitive lth root of unity ε, and let Oϵ[G]¯ be the ‘restricted’ quantized function algebra at ε, a finite‐dimensional k‐algebra obtained from Oε[G] by factoring out a centrally generated ideal. It is known that Oϵ[G]¯ is a Hopf algebra. We study the cohomology ring ExtOϵ[G]¯∗(k,k) , a graded commutative algebra, and, for any finite‐dimensional Oϵ[G]¯ ‐module M, the ExtOϵ[G]¯∗(k,k) ‐module ExtOϵ[G]¯∗(k,M) . We prove that for sufficiently large l there is an isomorphism of graded algebras ExtOϵ[G]¯∗(k,k)≅k[X1,…,X2N], where each Xi is homogeneous of degree 2 , and 2N equals the number of roots associated to G. Moreover we show that in this case ExtOϵ[G]¯∗(k,M) is a finitely generated ExtOϵ[G]¯∗(k,k) ‐module. We also show under much less restrictive conditions on l that ExtOϵ[G]¯∗(k,k) continues to be a finitely generated graded commutative algebra over which ExtOϵ[G]¯∗(k,M) is a finitely generated module. 1991 Mathematics Subject Classification: 16W30, 17B37, 17B56.