On γ-Vectors Satisfying the Kruskal–Katona Inequalities
On γ-Vectors Satisfying the Kruskal–Katona Inequalities
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关于满足 Kruskal-Katona 不等式的 γ 向量
DOI：
10.1007/s00454-010-9243-6
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发表时间：
2009
影响因子：
0.8
通讯作者：
T. K. Petersen
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Eran Nevo;T. K. Petersen
我们提出了标志同源球的例子，其 γ 向量满足 Kruskal-Katona 不等式。这包括几个经过充分研究的单纯复形族，包括 Coxeter 复形以及联合面体和环面体的对偶复形。在这些情况下，我们构造显式标志单纯复形，其 f 向量是所讨论的 γ 向量，因此 Frohmader 的结果表明 γ 向量不仅满足 Kruskal-Katona 不等式，还满足更强的 Frankl-Füredi-Kalai 不等式。在另一个方向上，我们证明如果标志 (d−1)-球体最多有 2d+3 个顶点，则其 γ 向量满足 Frankl–Füredi–Kalai 不等式。我们推测，如果 Δ 是一个标志同调球，那么 γ(Δ) 满足 Kruskal-Katona，并且进一步满足 Frankl-Füredi-Kalai 不等式。这个猜想是对 Gal 猜想的重大改进，Gal 猜想断言此类 γ 向量是非负的。
We present examples of flag homology spheres whose γ-vectors satisfy the Kruskal–Katona inequalities. This includes several families of well-studied simplicial complexes, including Coxeter complexes and the simplicial complexes dual to the associahedron and to the cyclohedron. In these cases, we construct explicit flag simplicial complexes whose f-vectors are the γ-vectors in question, and so a result of Frohmader shows that the γ-vectors satisfy not only the Kruskal–Katona inequalities but also the stronger Frankl–Füredi–Kalai inequalities. In another direction, we show that if a flag (d−1)-sphere has at most 2d+3 vertices its γ-vector satisfies the Frankl–Füredi–Kalai inequalities. We conjecture that if Δ is a flag homology sphere then γ(Δ) satisfies the Kruskal–Katona, and further, the Frankl–Füredi–Kalai inequalities. This conjecture is a significant refinement of Gal’s conjecture, which asserts that such γ-vectors are nonnegative.