The radius of univalence of certain analytic functions. II
The radius of univalence of certain analytic functions. II
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某些解析函数的单价半径。
DOI：
10.1090/s0002-9939-1963-0148891-3
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发表时间：
1963
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
T. Macgregor
中科院分区：
文献类型：
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作者：
T. Macgregor
1. 简介。假设 f (z)= z+ a2z2+* 对于 zI< 1 是解析的。如果 IzI< 1 时 Re {f (z)/z}> 0，则 f (z) 在 IzI< a/2-1 中是单价的 [5，定理 3； 7]。函数 f (z)=(z+ z2)/(1-Z) 满足假设，但在任何圆 I z I< r for r> a2\-1 中都是单价的，因为它的导数在 z=/2-1 处消失。在本文中，我们将上述定理推广到幂级数为 f (z)= z+ an+, zn+ 1+*** 的函数。用于获得此结果的估计进一步用于查找函数 f (z)= z+ a,+, zn+ 1+* 的凸性半径，该函数是解析函数，并且满足 Re f'(z)> 0（对于 z< 1）。对于 n= 1，该定理不是新定理 [5，定理 2； 10，p。 284]。已知条件 Ref'(z)> 0 足以满足 I z I< 1 [1, p.1] 中 f (z) 的单价性。 18]。我们考虑寻找函数 f (z)= z+ a2z2+... 的单价半径的问题，该函数是解析函数，并且对于 I zi< 1 满足 Re {f (z)/g (z)}> 0，其中 g (z)= z+ b2z2+** 是解析函数并且对于 I zI< 1 是单价的。在 g (z) 是星形或凸形的情况下，这个问题就解决了。我们特别利用了 IzI< r 时的条件 Re {zf'(z)/f (z)}> 0，这对于 f (z) 在 I z I< r [8, p.1] 中是单价且星状的是必要且充分的。 105，问题109]。对于任意单价函数 g(z)，我们仅获得 f(z) 的单价半径的估计。
1. Introduction. Suppose that f (z)= z+ a2z2+* is analytic for zI< 1. If Re {f (z)/z}> 0 for IzI< 1 then f (z) is univalent in IzI< a/2-1 [5, Theorem 3; 7]. The function f (z)=(z+ z2)/(1-Z) satis-fies the hypotheses but is univalent in no circle I z I< r for r> a2\-1 since its derivative vanishes at z=/2-1. In this paper we generalize the above theorem for functions whose power series begins f (z)= z+ an+, zn+ 1+***. The estimate used to obtain this result is further used to find the radius of convexity for functions f (z)= z+ a,+, zn+ 1+* which are analytic and satisfy Re f'(z)> 0 for z< 1. For n= 1 this theorem is not new [5, Theorem 2; 10, p. 284]. The condition Ref'(z)> 0 is known to be sufficient for the univalency of f (z) in I z I< 1 [1, p. 18]. We consider the problem of finding the radius of univalence for functions f (z)= z+ a2z2+... which are analytic and satisfy Re {f (z)/g (z)}> 0 for I zi< 1, where g (z)= z+ b2z2+** is analytic and univalent for I zI< 1. In the case that g (z) is either starlike or convex this problem is solved. We take particular advantage of the condi-tion Re {zf'(z)/f (z)}> 0 for IzI< r, which is necessary and sufficient for f (z) to be univalent and starlike in I z I< r [8, p. 105, problem 109]. For arbitrary univalent functions g (z) we only obtain an estimate for the radius of univalence for f (z).