Sharp $A_2$ estimates of Haar shifts via Bellman function
Sharp $A_2$ estimates of Haar shifts via Bellman function
复制标题
DOI：
--
复制
发表时间：
2011-05
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
S. Treil
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
S. Treil
利用Bellman函数方法给出了Haar移位的一个尖锐加权估计的初等证明，该估计关于权的A2范数和移位的复杂度是线性的.连同一般的Calder-Zygmund算子作为Haar位移的加权平均（在所有并矢格上）的表示，（参见。arXiv：1010.0755v2[math.CA]，arXiv：1007.4330v1[math.CA]），它给出了所谓的$A_2$猜想的一个明显更简单的证明。主要的估计是关于凹函数的一个非常一般的事实，这在鞅调和分析的其他问题中也是非常有用的。这种类型的凹函数出现作为Bellman函数的边界上的双线性形式的鞅乘数，因此主要的估计允许转移的结果最简单的可能鞅乘数更一般的鞅变换。注意（虽然这对于一般Calder\'{o} n-Zygmund算子的A_2猜想并不重要），这个初等证明给出了移位复杂性的最佳已知（线性）增长。
We use the Bellman function method to give an elementary proof of a sharp weighted estimate for the Haar shifts, which is linear in the $A_2$ norm of the weight and in the complexity of the shift. Together with the representation of a general Calder\'{o}n--Zygmund operator as a weighted average (over all dyadic lattices) of Haar shifts, (cf. arXiv:1010.0755v2[math.CA], arXiv:1007.4330v1[math.CA]) it gives a significantly simpler proof of the so-called the $A_2$ conjecture. The main estimate is a very general fact about concave functions, which can be very useful in other problems of martingale Harmonic Analysis. Concave functions of such type appear as the Bellman functions for bounds on the bilinear form of martingale multipliers, thus the main estimate allows for the transference of the results for simplest possible martingale multipliers to more general martingale transforms. Note that (although this is not important for the $A_2$ conjecture for general Calder\'{o}n--Zygmund operators) this elementary proof gives the best known (linear) growth in the complexity of the shift.