Elliptic Dimers on Minimal Graphs and Genus 1 Harnack Curves
Elliptic Dimers on Minimal Graphs and Genus 1 Harnack Curves
复制标题
最小图和属 1 Harnack 曲线上的椭圆二聚体
DOI：
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发表时间：
2020
影响因子：
2.4
通讯作者：
Béatrice de Tilière
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Cédric Boutillier;David Cimasoni;Béatrice de Tilière
本文对具有 Fock 椭圆权重的无限极小图上的二聚体模型进行了全面研究（Fock，GK 可积系统的逆谱问题。arXiv e-prints arXiv：1503.00289，2015）。 Bouutilier 等人研究了此类模型的具体实例。 （发明数学 208(1):109–189, 2017），Boutillier 等人。 （概率论及相关领域，2018）和 de Tilière（Electron J Probab 26:1–86，2021）；我们现在处理一般的属 1 情况，从而证明 Kenyon (Invent Math 150(2):409–439, 2002) 以及 Kenyon 和 Okounkov (Duke Math J 131(3):499–524, 2006) 在等径向临界模型上的属 0 结果的非平凡扩展。我们给出了 Kasteleyn 算子的二参数逆族的显式局部表达式，并且在底层图上没有周期性假设。当最小图满足自然条件时，我们从这些逆中构建二聚体吉布斯测度族，并通过推导每个相中相关性的渐近来描述模型的相图。在 $$mathbb {Z}^2$$ Z 2 -周期情况下，这给出了 Kenyon 等人构建的全套遍历吉布斯测度的替代描述。 （安·数学 163(3):1019–1056, 2006）。我们还建立了周期极小图上的椭圆二聚体模型与属 1 的 Harnack 曲线之间的对应关系。最后，我们表明，当且仅当相关的 Kasteleyn 系数是反对称的并且满足 Fay 的三割线恒等式时，二分二聚体模型在二价顶点收缩/扩展和蜘蛛移动下是不变的。
This paper provides a comprehensive study of the dimer model on infinite minimal graphs with Fock’s elliptic weights (Fock, Inverse spectral problem for GK integrable system. arXiv e-prints arXiv:1503.00289 , 2015). Specific instances of such models were studied in Boutillier et al. (Invent Math 208(1):109–189, 2017), Boutillier et al. (Probability theory and related fields, 2018) and de Tilière (Electron J Probab 26:1–86, 2021); we now handle the general genus 1 case, thus proving a non-trivial extension of the genus 0 results of Kenyon (Invent Math 150(2):409–439, 2002) and Kenyon and Okounkov (Duke Math J 131(3):499–524, 2006) on isoradial critical models. We give an explicit local expression for a two-parameter family of inverses of the Kasteleyn operator with no periodicity assumption on the underlying graph. When the minimal graph satisfies a natural condition, we construct a family of dimer Gibbs measures from these inverses, and describe the phase diagram of the model by deriving asymptotics of correlations in each phase. In the $$mathbb {Z}^2$$ Z 2 -periodic case, this gives an alternative description of the full set of ergodic Gibbs measures constructed in Kenyon et al. (Ann Math 163(3):1019–1056, 2006). We also establish a correspondence between elliptic dimer models on periodic minimal graphs and Harnack curves of genus 1. Finally, we show that a bipartite dimer model is invariant under the shrinking/expanding of 2-valent vertices and spider moves if and only if the associated Kasteleyn coefficients are antisymmetric and satisfy Fay’s trisecant identity.