Multiplicities of points on a Schubert variety in a minuscule GP
Multiplicities of points on a Schubert variety in a minuscule GP
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微型 GP 中舒伯特变体的多重点
DOI：
10.1016/0001-8708(90)90044-n
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发表时间：
1990
影响因子：
1.7
通讯作者：
J. Weyman
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
V. Lakshmibai;J. Weyman
在本文中，我们证明了[13]中公布的结果。设 G 是在代数闭域 k 上定义的半单单连通代数群。令 T 为最大环面，B 为 Bore1 子群，B 3 T。令 W 为 G 的 Weyl 群。令 R（分别为 R+）为相对于 T（分别为 B）的根集（分别为正根）。令 S 为 R+ 中的单根集合。令 P 为 G 中具有相关基本权重 w 的最大抛物线子群。令 W, 为 P 的 Weyl 群，Wp 为 W/W, 的最小代表集。对于 w E Wp，令 e (w) 为点，X (w) 为与 w 相关的 G/P 中的舒伯特变体。在本文中，我们确定 X (w) 在 e (z) 处的重数 m,(w)，其中 e (z) EX (w)，对于所有小 P，并且对于 P= Pgn，G 为 C 型（这里 Pun 表示省略 a, 获得的最大抛物线子群）。 m,(w) 的确定如下进行。令 L 为 Pic (G/P) 的充足生成器。已经根据 X (w) 上的标准单项式构造了 @(X (w), L”) 的基（参见[16, 11 I）。设 U; 是由 U-,,/? ET (R+-Rp+) 生成的 G 的单能子群（这里 R，表示 P 和 U 的根集，表示 G 的单能子群，与 tl E R 相关）。则 U; e (r) 给出设 A, 为 U, e (z) 和 A,..= A,/& 的仿射代数，其中 & 为 A 中在 X (w) n U 上消失的元素的理想；设 M,,, 为 A, H 中的最大理想，对应于 e (r)，然后使用 [16, 111] 的结果， &f:,+,,’。这使我们能够获得 X (w) 在 e (T) 处的希尔伯特多项式的归纳公式（参见推论 3.8 和 4.11），并用 m,(w’)’s 表示 m,(w)，X (w’)’ 是 X (w) 中的舒伯特除数，使得 e (T) EX (w’)（参见定理） 3.7 和 4.10）。
In this paper we prove the results announced in [13]. Let G be a semisimple, simply connected algebraic group defined over an algebraically closed field k. Let T be a maximal torus, B a Bore1 subgroup, B 3 T. Let W be the Weyl group of G. Let R (resp. R+) be the set of roots (resp. positive roots) relative to T (resp. B). Let S be the set of simple roots in R+. Let P be a maximal parabolic subgroup in G with associated fundamental weight w. Let W, be the Weyl group of P, and Wp be the set of minimal representatives of W/W,. For w E Wp, let e (w) be the point and X (w) the Schubert variety in G/P associated to w. In this paper we determine the multiplicity m,(w) of X (w) at e (z), where e (z) EX (w), for all minuscule P’s and also for P= Pgn, G being of type C,(here Pun denotes the maximal parabolic subgroup obtained by omitting a,). The determination of m,(w) is done as follows. Let L be the ample generator of Pic (G/P). A basis has been constructed for@(X (w), L”) in terms of standard monomials on X (w)(cf.[16, 11 I). Let U; be the unipotent subgroup of G generated by U-,,/? ET (R+-Rp+)(here R, denotes the set of roots of P and U, denotes the unipotent subgroup of G, associated to tl E R). Then U; e (r) gives an affme neighborhood of e (z) in G/P. Let A, be the affine algebra of U, e (z) and A,..= A,/&, where & is the ideal of elements of A, that vanish on X (w) n U; e (z). Let M,,, be the maximal ideal in A, H, corresponding to e (r). Then using the results of [16, 111, we obtain a basis of M;, &f:,+,,’. This enables us to obtain an inductive formula for F,,,, the Hilbert polynomial of X (w) at e (T)(cf. Corollaries 3.8 and 4.11), and also express m,(w) in terms of m,(w’)‘s, X (w’)‘s being the Schubert divisors in X (w) such that e (T) EX (w’)(cf. Theorems 3.7 and 4.10). Using this we