Multiple codings of self-similar sets with overlaps
Multiple codings of self-similar sets with overlaps
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DOI：
10.1016/j.aam.2020.102146
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发表时间：
2021-03
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
K. Dajani;Kan Jiang;Derong Kong;Wenxia Li;Lifeng Xi
中科院分区：
文献类型：
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作者：
K. Dajani;Kan Jiang;Derong Kong;Wenxia Li;Lifeng Xi
在本文中，我们考虑具有完全重叠的自相似集的一般 E 类。给定实线上的自相似迭代函数系统 Φ=(E,{f i} i= 1 m)ε E，对于每个点 x∈ E，我们可以找到一个序列 (i k)= i 1 i 2…ε{1,…, m} N，称为 x 的编码，使得 x= lim n→∞ f i 1∘ f i 2∘⋯∘ f i n (0)。对于 k= 1, 2,…, ℵ 0 或 2 ℵ 0，我们研究子集 U k (Φ)，它由具有恰好 k 个不同编码的所有 x∈ E 组成。在几个等价的表征中，我们表明当且仅当 U ℵ 0 (Φ) 是空集时 U 1 (Φ) 是闭集。此外，我们给出了 U k (Φ) 的豪斯多夫维数的显式公式，并表明对于任何 k≥ 2，U k (Φ) 相应的豪斯多夫测度总是无限的。最后，我们显式计算了 U k (Φ) 和 U ℵ 0 (Φ) 中每个点的自相似测度的局部维数。
In this paper we consider a general class E of self-similar sets with complete overlaps. Given a self-similar iterated function system Φ=(E,{f i} i= 1 m)∈ E on the real line, for each point x∈ E we can find a sequence (i k)= i 1 i 2…∈{1,…, m} N, called a coding of x, such that x= lim n→∞ f i 1∘ f i 2∘⋯∘ f i n (0). For k= 1, 2,…, ℵ 0 or 2 ℵ 0 we investigate the subset U k (Φ) which consists of all x∈ E having precisely k different codings. Among several equivalent characterizations we show that U 1 (Φ) is closed if and only if U ℵ 0 (Φ) is an empty set. Furthermore, we give explicit formulae for the Hausdorff dimension of U k (Φ), and show that the corresponding Hausdorff measure of U k (Φ) is always infinite for any k≥ 2. Finally, we explicitly calculate the local dimension of the self-similar measure at each point in U k (Φ) and U ℵ 0 (Φ).