On the realization of maximal simple types and epsilon factors of pairs
On the realization of maximal simple types and epsilon factors of pairs
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关于最大简单类型和对的 epsilon 因子的实现
DOI：
10.1353/ajm.0.0022
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发表时间：
2006
影响因子：
1.7
通讯作者：
S. Stevens
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Vytautas Paškūnas;S. Stevens
令 $G$ 为非阿基米德局部域 $F$ 上一般线性群的有理点群。我们表明，$G$ 的开放、紧模中心子群（Bushnell 和 Kutzko 的最大简单类型）的某些表示可以实现为具体空间。在零级情况下，我们的结果主要归功于 Gel$'$fand。这使我们能够针对 $G$ 的超尖峰表示 $\pi$ 计算 $\pi$ 的可区分矩阵系数。通过积分，我们获得 $\pi$ 的显式 Whittaker 函数。我们使用它来计算对的 $\varepsilon$ 因子，对于 $G$ 的上尖峰表示 $\pi_1$、$\pi_2$，当 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的同余仅在“驯服级别”不同时（更准确地说，$\pi_1$ 和 $\check{\pi}_2$ 包含相同的简单字符）。为此，我们使用 Jacquet、Piatetskii-Shapiro、Shalika 的定义，计算定义 epsilon 因子的函数方程两边。我们还研究了 $\varepsilon$ 因子在通过驯服的分支准字符扭曲 $\pi_1$ 下的行为。我们的结果概括了特殊情况 $\pi_1=\check{\pi}_2$ ，由于 Bushnell 和 Henniart 的影响，完全受到了广泛的影响。
Let $G$ be the group of rational points of a general linear group over a non-archimedean local field $F$. We show that certain representations of open, compact-mod-centre subgroups of $G$, (the maximal simple types of Bushnell and Kutzko) can be realized as concrete spaces. In the level zero case our result is essentially due to Gel$'$fand. This allows us, for a supercuspidal representation $\pi$ of $G$, to compute a distinguished matrix coefficient of $\pi$. By integrating, we obtain an explicit Whittaker function for $\pi$. We use this to compute the $\varepsilon$-factor of pairs, for supercuspidal representations $\pi_1$, $\pi_2$ of $G$, when $\pi_1$ and the contragredient of $\pi_2$ differ only at the ``tame level'' (more precisely, $\pi_1$ and $\check{\pi}_2$ contain the same simple character). We do this by computing both sides of the functional equation defining the epsilon factor, using the definition of Jacquet, Piatetskii-Shapiro, Shalika. We also investigate the behavior of the $\varepsilon$-factor under twisting of $\pi_1$ by tamely ramified quasi-characters. Our results generalize the special case $\pi_1=\check{\pi}_2$ totally wildly ramified, due to Bushnell and Henniart.