Clarke Subgradients of Stratifiable Functions
Clarke Subgradients of Stratifiable Functions
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DOI：
10.1137/060670080
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发表时间：
2006-01
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
J. Bolte;A. Daniilidis;A. Lewis;M. Shiota
中科院分区：
文献类型：
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作者：
J. Bolte;A. Daniilidis;A. Lewis;M. Shiota
我们建立了如下结果：如果一个下半连续的实值扩充实值函数$f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$的图像允许一个惠特尼分层（所以特别地，如果$f$是一个半代数函数），那么$f$在$x\in\mathrm{dom}\,f$处相对于包含$x$的层的梯度的范数从下方界定了$f$在$x$处的所有克拉克次梯度的范数。作为一个结果，我们得到了一个莫尔斯 - 萨德型定理以及对于在任意o - 极小结构中可定义的函数的库尔迪卡 - 洛贾谢维茨不等式的一个非光滑推广。值得指出的是，即使在光滑的情形下，最后这个结果通过去掉函数定义域的有界性假设，推广了[K.库尔迪卡，《傅里叶研究所通报（格勒诺布尔）》，48（1998），第769 - 783页]中给出的结果。
We establish the following result: If the graph of a lower semicontinuous real-extended-valued function $f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ admits a Whitney stratification (so in particular if $f$ is a semialgebraic function), then the norm of the gradient of $f$ at $x\in\mbox{dom\,}f$ relative to the stratum containing $x$ bounds from below all norms of Clarke subgradients of $f$ at $x$. As a consequence, we obtain a Morse-Sard type of theorem as well as a nonsmooth extension of the Kurdyka-Lojasiewicz inequality for functions definable in an arbitrary o-minimal structure. It is worthwhile pointing out that, even in a smooth setting, this last result generalizes the one given in [K. Kurdyka, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 48 (1998), pp. 769-783] by removing the boundedness assumption on the domain of the function.