On trace-convex noncommutative polynomials
On trace-convex noncommutative polynomials
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关于迹凸非交换多项式
DOI：
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发表时间：
2014
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Christopher S. Nelson
中科院分区：
文献类型：
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作者：
I. Klep;S. McCullough;Christopher S. Nelson
对于每个实连续函数 f，实对称矩阵 Tr f 上都有一个关联的迹函数。经典克莱因引理指出，当且仅当 Tr f 是凸的时，f 是凸的。在本文中，我们提出了单变量多项式 f 的这个引理的代数强化：当且仅当 f 的非交换二阶方向导数是自由代数中的埃尔密平方和可交换子之和时，Tr f 才是凸的。我们还提供了该结果的本地化版本。
To each real continuous function f there is an associated trace function on real symmetric matrices Tr f. The classical Klein lemma states that f is convex if and only if Tr f is convex. In this note we present an algebraic strengthening of this lemma for univariate polynomials f: Tr f is convex if and only if the noncommutative second directional derivative of f is a sum of hermitian squares and commutators in a free algebra. We also give a localized version of this result.