Classical and Elliptic Polylogarithms and Special Values of L-Series
Classical and Elliptic Polylogarithms and Special Values of L-Series
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经典和椭圆多对数以及L系列的特殊值
DOI：
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发表时间：
2000
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
H. Gangl
中科院分区：
文献类型：
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作者：
D. Zagier;H. Gangl
狄利克雷类数公式将任意代数数域 F 的 Dedekind zeta 函数 z F(s) 在 s = 1 处的留数表示为简单因子（涉及域的类数）与矩阵行列式的乘积，该矩阵的条目是域中单位的对数。另一方面，如果 F 是 n 次的全实数域，那么 Klingen 和 Siegel 的一个著名定理表明，对于每个正偶整数，其值 z F (m) 是 π mn 的有理倍数。在[52]和[53]中，对这两个结果进行了推测概括，根据该推论，任意数域 F 和正整数 m 的特殊值 z F (m) 可以用超越函数的特殊值来表示，具体取决于仅在 m 上，即第 m 个经典多对数函数。这些实例预计将形成更普遍的图景的一部分，其中“动机起源”的 L 系列的特殊价值以某种先验函数的形式表达。在这项调查中，我们收集了一些适合并说明这幅图画的作品。
The Dirichlet class number formula expresses the residue at s = 1 of the Dedekind zeta function ζ F(s) of an arbitrary algebraic number field F as the product of a simple factor (involving the class number of the field) with the determinant of a matrix whose entries are logarithms of units in the field. On the other hand, if F is a totally real number field of degree n, then a famous theorem by Klingen and Siegel says that the value ζ F (m) for every positive even integer in is a rational multiple of π mn In [52] and [53], a conjectural generalization of these two results was formulated according to which the special value ζ F (m) for arbitrary number fields F and positive integers m can be expressed in terms of special values of a transcendental function depending only on m, namely the m th classical polylogarithm function. These instances are expected to form part of a much more general picture in which a special value of an L-series of “motivic origin” is expressed in terms of some transcendental function. In this survey we collect some pieces fitting into and illustrating this picture.