Topology and Analysis: The Atiyah-Singer Index Formula and Gauge-Theoretic Physics
Topology and Analysis: The Atiyah-Singer Index Formula and Gauge-Theoretic Physics
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DOI：
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发表时间：
1989-10
期刊：
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通讯作者：
B. Bleecker;B. Booss;D. Bleecker
中科院分区：
文献类型：
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作者：
B. Bleecker;B. Booss;D. Bleecker
I. 带索引的运算符。- 1. Fredholm 运算符。- A. 数学对象的层次结构。- B. Fredholm 运算符的概念。- 2. 代数性质。有限秩算子。- A. 蛇引理。- B. 有限秩和 Fredholm 积分方程算子。- 3. 分析方法。紧致算子。- A. 解析方法。- B. 伴随算子。- C. 紧致算子。- D. 经典积分算子。- 4. Fredholm 替代方案。- A. Riesz 引理。- B. Sturm-Liouville 边界值问题。- 5. 主要定理。- A. 卡尔金代数。- B. 微扰理论。- C.同伦-索引的不变性。- 6. 可逆算子族。柯伊伯定理。- A. 算子值函数的同伦。- B. 柯伊伯定理。- 7. Fredholm 算子族。索引丛。- A. F 的拓扑。- B. 索引丛的构造。- C. Atiyah-Janich 定理。- D. 同伦和酉等价。- 8. 傅里叶级数和积分（基本原理）。- A. 傅里叶级数。- B. 傅里叶积分。- C. 高维傅里叶积分。- 9. Wiener-Hopf算子。- A. Fredholm 算子的例子库。- B. Wiener-Hopf 算子的起源和基本意义。- C. Wiener-Hopf 算子的特征曲线。- D. Wiener-Hopf 算子和调和分析。- E. 离散指数公式。- F. 系统案例。- G. 连续模拟。- II. 算子。流形分析.- 1. 偏微分方程.- A. 线性偏微分方程.- B. 椭圆微分方程.- C. 椭圆微分算子在哪里出现？- D. 边值条件.- E. 分析的主要问题和索引问题.- F. 数值方面.- G. 基本例子.- 2. 流形上的微分算子.- A. 动机。- B. 可微分流形 - 基础。- C. C 的几何？映射。- D. 流形上的积分。- E. 流形上的微分算子。- F. 有边界的流形。- 3. 伪微分算子。- A. 动机。- B. “规范”伪微分算子。- C. 流形上的伪微分算子。- D. 伪微分近似理论算子。- 4. Sobolev 空间（速成课程）。- A. 动机。- B. 定义。- C. Sobolev 空间的主要定理。- D. 案例研究。- 5. 闭流形上的椭圆算子。- A. 伪微分算子的连续性。- B. 椭圆算子。- 6. 椭圆边界值系统 I（微分）算子）.- A. 常系数微分方程。- B. 常系数微分方程组。- C. 变系数。- 7. 带边界条件的一阶椭圆微分算子。- A. 边界值条件的拓扑解释（案例研究）。- B. 推广（启发式）。- 8. 椭圆边界值系统 II （调查）.- A. 泊松原理。- B. 绿色代数。- C. 椭圆情况。- III。 Atiyah-Singer 指数公式。- 1. 代数拓扑简介。- A. 绕数。- B. 一般线性群拓扑。- C. 向量丛环。- D. K-紧支持理论。- E. R. Bott 周期性定理的证明。- 2. 欧几里得情况下的指数公式。- A. 指数公式和 Bott 周期性。- B. 差异椭圆算子束。- C. 指数公式。- 3. 闭流形指数定理。- A. 指数公式。- B. 证明比较：配边证明。- C. 证明比较：嵌入证明。- D. 证明比较：热方程证明。- 4. 应用（调查）。- A. 指数的上同调公式公式.- B. 系统的情况（平凡丛）。- C. 消失指数的示例。- D. 欧拉数和签名。- E. 流形上的向量场。- F. 阿贝尔积分和黎曼曲面。- G. 黎曼-罗赫-希尔泽布鲁赫定理。- H. 椭圆边界值问题的指数。- J. 实算子。- K. Lefsehetz 定点公式。- L. 对称空间分析。- M. 进一步应用。- IV。指数公式和规范理论物理。- 1. 物理动机和概述。- A. 经典场论。- B. 量子论。- 2. 几何预备知识。- A. 主 G 丛。- B. 连接和曲率。- C. 等变形式和相关丛。- D. 规范变换。- E. 黎曼几何中的曲率。- F. Bochner-Weitzenbock 公式。- G. Chern 类作为曲率形式。- H. Holonomy。- 3. 规范理论瞬时子。- A. 杨米尔斯泛函。- B. 欧几里得 4 空间上的瞬时子。- C. 自对偶连接模“流形”的线性化。- D. 自对偶连接模流形结构。- E.第四维规范理论拓扑。- 附录：什么是向量束？。- 文献。- 符号索引第 I、II、III 部分。- IV.- 姓名/作者索引。
I. Operators with Index.- 1. Fredholm Operators.- A. Hierarchy of Mathematical Objects.- B. Concept of Fredholm Operator.- 2. Algebraic Properties. Operators of Finite Rank.- A. The Snake Lemma.- B. Operators of Finite Rank and Fredholm Integral Equations.- 3. Analytic Methods. Compact Operators.- A. Analytic Methods.- B. The Adjoint Operator.- C. Compact Operators.- D. The Classical Integral Operators.- 4. The Fredholm Alternative.- A. The Riesz Lemma.- B. Sturm-Liouville Boundary-Value Problem.- 5. The Main Theorems.- A. The Calkin Algebra.- B. Perturbation Theory.- C. Homotopy-Invariance of the Index.- 6. Families of Invertible Operators. Kuiper's Theorem.- A. Homotopies of Operator-Valued Functions.- B. The Theorem of Kuiper.- 7. Families of Fredholm Operators. Index Bundles.- A. The Topology of F.- B. The Construction of Index Bundles.- C. The Theorem of Atiyah-Janich.- D. Homotopy and Unitary Equivalence.- 8. Fourier Series and Integrals (Fundamental Principles).- A. Fourier Series.- B. The Fourier Integral.- C. Higher Dimensional Fourier Integrals.- 9. Wiener-Hopf Operators.- A. The Reservoir of Examples of Fredholm Operators.- B. Origin and Fundamental Significance of Wiener-Hopf Operators.- C. The Characteristic Curve of a Wiener-Hopf Operator.- D. Wiener-Hopf Operators and Harmonic Analysis.- E. The Discrete Index Formula.- F. The Case of Systems.- G. The Continuous Analogue.- II. Analysis on Manifolds.- 1. Partial Differential Equations.- A. Linear Partial Differential Equations.- B. Elliptic Differential Equations.- C. Where Do Elliptic Differential Operators Arise?.- D. Boundary-Value Conditions.- E. Main Problems of Analysis and the Index Problem.- F. Numerical Aspects.- G. Elementary Examples.- 2. Differential Operators over Manifolds.- A. Motivation.- B. Differentiable Manifolds - Foundations.- C. Geometry of C? Mappings.- D. Integration on Manifolds.- E. Differential Operators on Manifolds.- F. Manifolds with Boundary.- 3. Pseudo-Differential Operators.- A. Motivation.- B. "Canonical" Pseudo-Differential Operators.- C. Pseudo-Differential Operators on Manifolds.- D. Approximation Theory for Pseudo-Differential Operators.- 4. Sobolev Spaces (Crash Course).- A. Motivation.- B. Definition.- C. The Main Theorems on Sobolev Spaces.- D. Case Studies.- 5. Elliptic Operators over Closed Manifolds.- A. Continuity of Pseudo-Differential Operators.- B. Elliptic Operators.- 6. Elliptic Boundary-Value Systems I (Differential Operators).- A. Differential Equations with Constant Coefficients.- B. Systems of Differential Equations with Constant Coefficients.- C. Variable Coefficients.- 7. Elliptic Differential Operators of First Order with Boundary Conditions.- A. The Topological Interpretation of Boundary-Value Conditions (Case Study).- B. Generalizations (Heuristic).- 8. Elliptic Boundary-Value Systems II (Survey).- A. The Poisson Principle.- B. The Green Algebra.- C. The Elliptic Case.- III. The Atiyah-Singer Index Formula.- 1. Introduction to Algebraic Topology.- A. Winding Numbers.- B. The Topology of the General Linear Group.- C. The Ring of Vector Bundles.- D. K-Theory with Compact Support.- E. Proof of the Periodicity Theorem of R. Bott.- 2. The Index Formula in the Euclidean Case.- A. Index Formula and Bott Periodicity.- B. The Difference Bundle of an Elliptic Operator.- C. The Index Formula.- 3. The Index Theorem for Closed Manifolds.- A. The Index Formula.- B. Comparison of the Proofs: The Cobordism Proof.- C. Comparison of the Proofs: The Imbedding Proof.- D. Comparison of the Proofs: The Heat Equation Proof.- 4. Applications (Survey).- A. Cohomological Formulation of the Index Formula.- B. The Case of Systems (Trivial Bundles).- C. Examples of Vanishing Index.- D. Euler Number and Signature.- E. Vector Fields on Manifolds.- F. Abelian Integrals and Riemann Surfaces.- G. The Theorem of Riemann-Roch-Hirzebruch.- H. The Index of Elliptic Boundary-Value Problems.- J. Real Operators.- K. The Lefsehetz Fixed-Point Formula.- L. Analysis on Symmetric Spaces.- M. Further Applications.- IV. The Index Formula and Gauge-Theoretical Physics.- 1. Physical Motivation and Overview.- A. Classical Field Theory.- B. Quantum Theory.- 2. Geometric Preliminaries.- A. Principal G-Bundles.- B. Connections and Curvature.- C. Equivariant Forms and Associated Bundles.- D. Gauge Transformations.- E. Curvature in Riemannian Geometry.- F. Bochner-Weitzenbock Formulas.- G. Chern Classes as Curvature Forms.- H. Holonomy.- 3. Gauge-Theoretic Instantons.- A. The Yang-Mills Functional.- B. Instantons on Euclidean 4-Space.- C. Linearization of the "Manifold" of Moduli of Self-Dual Connections.- D. Manifold Structure for Moduli of Self-Dual Connections.- E. Gauge-Theoretic Topology in Dimension Four.- Appendix: What are Vector Bundles?.- Literature.- Index of Notation Parts I, II, III.- IV.- Index of Names/Authors.