On the Regularity of Differential Forms Satisfying Mixed Boundary Conditions in a Class of Lipschitz Domains
On the Regularity of Differential Forms Satisfying Mixed Boundary Conditions in a Class of Lipschitz Domains
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关于一类Lipschitz域中满足混合边界条件的微分形式的正则性
DOI：
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发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
M. Mitrea
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Tunde Jakab;I. Mitrea;M. Mitrea
令 Ω ⊂ ℝ n 为有界 Lipschitz 域，其边界分解为两个不相交的部分 Σ t 、 Σ n ⊆ ∂Ω，它们以角度 0 相交，具有以下属性： if |2 - p| < e，则以下成立。考虑一个向量场 u，其分量为 u 1 ,..., u n ∈ L p (Ω)，且旋度 u =(∂ j u k - ∂ k u j ) 1≤j,k≤n ∈ L p (Ω)。设 ν·u = Σ n j =1 ν j u j 且 ν × u = (ν j u k - ν k u j ) 1≤j,k≤n 。那么以下等价： (i) (ν · u) |Σ t ∈ L p (Σ t ) 和 (v × u) |Σ n ∈ L p (Σ n )； (ii) ν·u ∈ L p (∂Ω)； (iii) ν × u ∈ L p (∂Ω)。此外，如果任一条件成立，则 u 属于 Besov 空间 B p,max(p,2) 1/p (Ω)。事实上，类似的结果对于任意阶的微分形式都是有效的。这概括了早期处理 Σ t = O 或 Σ n = O 情况的工作。
Let Ω ⊂ ℝ n be a bounded Lipschitz domain, whose boundary decomposes into two disjoint pieces Σ t , Σ n ⊆ ∂Ω, which meet at an angle 0 with the property that if |2 - p| < e, then the following holds. Consider a vector field u with components u 1 ,..., u n ∈ L p (Ω) such that and curl u =(∂ j u k - ∂ k u j ) 1≤j,k≤n ∈ L p (Ω). Set ν · u = Σ n j =1 ν j u j and ν × u = (ν j u k - ν k u j ) 1≤j,k≤n . Then the following are equivalent: (i) (ν · u) |Σ t ∈ L p (Σ t ) and (v × u) |Σ n ∈ L p (Σ n ); (ii) ν · u ∈ L p (∂Ω); (iii) ν × u ∈ L p (∂Ω). Moreover, if either condition holds, then u belongs to the Besov space B p,max(p,2) 1/p (Ω). In fact, similar results are valid for differential forms of arbitrary degree. This generalizes earlier work dealing with the case when Σ t = O or Σ n = O.