Metric properties of the tropical Abel–Jacobi map
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热带阿贝尔-雅可比地图的度量属性
DOI：
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发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
X. Faber
中科院分区：
文献类型：
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作者：
M. Baker;X. Faber
设Γ为热带曲线（或度量图），并固定基点p∈Γ。我们定义了有限加权图G的雅可比矩阵群J(G)，并证明了雅可比矩阵J（Γ）在Γ下与J(G)在所有加权图模型G上的直接极限是规范同构的。这个结果对于减少关于Abel-Jacobi映射Φp：Γ→J（Γ）的某些问题（由Mikhalkin和Zharkov定义）到关于加权图的纯组合问题是有用的。证明了J(G)是有限的当且仅当G的每一个2连通分量的边在π上可通约。作为直接极限定理的一个应用，我们对J（Γ）上的三种不同的自然“度量”ρ，导出了ρ与${varPhi}_{p}^{*}（
ho）$之间的局部比较公式。其中一个公式表明，当Γ是2边连接时，Φp是一个热带等距。另一个证明了S. Zhang定义的度量图Γ上的正则测度μZh，相对于J（Γ）上的“超范数”测量Φp（Γ）上的长度。
Let Γ be a tropical curve (or metric graph), and fix a base point p∈Γ. We define the Jacobian group J(G) of a finite weighted graph G, and show that the Jacobian J(Γ) is canonically isomorphic to the direct limit of J(G) over all weighted graph models G for Γ. This result is useful for reducing certain questions about the Abel–Jacobi map Φp:Γ→J(Γ), defined by Mikhalkin and Zharkov, to purely combinatorial questions about weighted graphs. We prove that J(G) is finite if and only if the edges in each 2-connected component of G are commensurable over ℚ. As an application of our direct limit theorem, we derive some local comparison formulas between ρ and ${varPhi}_{p}^{*}(
ho)$ for three different natural “metrics” ρ on J(Γ). One of these formulas implies that Φp is a tropical isometry when Γ is 2-edge-connected. Another shows that the canonical measure μZh on a metric graph Γ, defined by S. Zhang, measures lengths on Φp(Γ) with respect to the “sup-norm” on J(Γ).