The geometrically nonlinear Cosserat micropolar shear–stretch energy. Part II: Non‐classical energy‐minimizing microrotations in 3D and their computational validation ***
The geometrically nonlinear Cosserat micropolar shear–stretch energy. Part II: Non‐classical energy‐minimizing microrotations in 3D and their computational validation ***
复制标题
几何非线性 Cosserat 微极性剪切拉伸能第二部分：3D 中的非经典能量最小化微旋转及其计算验证***
DOI：
10.1002/zamm.201600030
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发表时间：
2017
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
P. Neff
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
A. Fischle;P. Neff
在变形梯度场和微旋转场中的任何几何非线性、各向同性和二次Cosserat微极扩展连续介质模型中，剪切-拉伸能必然具有以下形式：的最佳Cosserat microrotations在尺寸的集合，作为一个函数。在前面的文章（第一部分）中，我们首先证明了，对于所有的权和的全部范围，可以简化为经典或非经典极限情况。然后我们导出了SO（2）中最优平面旋转的相关封闭形式表达式，并证明了它们的全局最优性。在本贡献（第二部分）中，我们在维度上刻画了非经典最优旋转。将最小化问题提升到单位四元数后，欧拉-拉格朗日方程可以通过计算机代数系统Mathematica符号化求解。在临界点的符号表达式中，我们挑选出两个候选者，我们对其进行分析，并通过SO（3）的Monte Carlo统计抽样计算验证其全局最优性。几何上，我们提出的最佳Cosserat旋转作用在最大拉伸平面上。我们以前得到的平面最优Cosserat旋转SO（2）的显式公式揭示了自己作为一个简单的特殊情况。此外，我们推导出相关的约化能级的Cosserat剪切拉伸能量和非经典最佳旋转的存在的标准。
In any geometrically nonlinear, isotropic and quadratic Cosserat micropolar extended continuum model formulated in the deformation gradient field and the microrotation field , the shear–stretch energy is necessarily of the form We aim at the derivation of closed form expressions for the minimizers of in SO(3), i.e., for the set of optimal Cosserat microrotations in dimension , as a function of . In a previous contribution (Part I), we have first shown that, for all , the full range of weights and can be reduced to either a classical or a non‐classical limit case. We have then derived the associated closed form expressions for the optimal planar rotations in SO(2) and proved their global optimality. In the present contribution (Part II), we characterize the non‐classical optimal rotations in dimension . After a lift of the minimization problem to the unit quaternions, the Euler–Lagrange equations can be symbolically solved by the computer algebra systemMathematica. Among the symbolic expressions for the critical points, we single out two candidates which we analyze and for which we can computationally validate their global optimality by Monte Carlo statistical sampling of SO(3). Geometrically, our proposed optimal Cosserat rotations act in the plane of maximal stretch. Our previously obtained explicit formulae for planar optimal Cosserat rotations in SO(2) reveal themselves as a simple special case. Further, we derive the associated reduced energy levels of the Cosserat shear–stretch energy and criteria for the existence of non‐classical optimal rotations.
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DOI：
10.1007/bf00537653
发表时间：
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H. Bufler
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T. Blesgen
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H. Altenbach
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