Interlacing polynomials and the veronese construction for rational formal power series
Interlacing polynomials and the veronese construction for rational formal power series
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有理形式幂级数的交错多项式和维罗内塞构造
DOI：
10.1017/prm.2018.76
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发表时间：
2018-06
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Philip B.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Zhang;Philip B.
给定一个正整数r和$0\lek-1$，对每个形式级数f定义$f^{\langr，k}$为$f(X)=f^{\langr，0\rangr}(x^r)+xf^{\langr，1\rangr}(x^r)+\cdots+x^{r-1}f^{\langr，r-1\rang}(x^r)。$JoChemko最近证明了多项式$U^{n}_{r，k}\，H(X)：=((1+x+cdots+x^{r-1})^{n}h(X))^{\langr，k\Rangle}$对于任意$r\deg h(X)-k$和任意正整数n，只有非正零点。因此，JoChemko证实了Beck和Stapon关于n维格多面体的Ehrhart多项式$h(X)$的猜想，即当$r\n$时，$U^{n}_{r，0}，h(X)$只有负的实零点。本文证明了：如果多项式序列$(h^{\langr，r-i\range)(X)_{1\les i\les r}$是交错的，则$(U^{n}_{r，r-i}\，h(X))_{1\les i\les r}$是交错的。我们的结果还有许多其他有趣的应用。特别地，这使得我们能够给出Savage和Visontai关于有色排列的下降生成函数的某些精化的交错性质的结果的一个新的证明。此外，我们还给出了精化有色排列的Carlitz恒等式。
Abstract Fixing a positive integer r and $0 \les k \les r-1$, define $f^{\langle r,k \rangle }$ for every formal power series f as $ f(x) = f^{\langle r,0 \rangle }(x^r)+xf^{\langle r,1 \rangle }(x^r)+ \cdots +x^{r-1}f^{\langle r,r-1 \rangle }(x^r).$ Jochemko recently showed that the polynomial $U^{n}_{r,k}\, h(x) := ( (1+x+\cdots +x^{r-1})^{n} h(x) )^{\langle r,k \rangle }$ has only non-positive zeros for any $r \ges \deg h(x) -k$ and any positive integer n. As a consequence, Jochemko confirmed a conjecture of Beck and Stapledon on the Ehrhart polynomial $h(x)$ of a lattice polytope of dimension n, which states that $U^{n}_{r,0}\,h(x)$ has only negative, real zeros whenever $r\ges n$. In this paper, we provide an alternative approach to Beck and Stapledon's conjecture by proving the following general result: if the polynomial sequence $( h^{\langle r,r-i \rangle }(x))_{1\les i \les r}$ is interlacing, so is $( U^{n}_{r,r-i}\, h(x) )_{1\les i \les r}$. Our result has many other interesting applications. In particular, this enables us to give a new proof of Savage and Visontai's result on the interlacing property of some refinements of the descent generating functions for coloured permutations. Besides, we derive a Carlitz identity for refined coloured permutations.
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DOI：
10.1006/eujc.1994.1021
发表时间：
1994-03
期刊：
Eur. J. Comb.
影响因子：
--
作者：
E. Steingrímsson
通讯作者：
E. Steingrímsson
DOI：
10.37236/4613
发表时间：
2014-08
期刊：
Electron. J. Comb.
影响因子：
--
作者：
Philip B. Zhang
通讯作者：
Philip B. Zhang
DOI：
10.1016/0012-365x(92)90378-s
发表时间：
1992-04
期刊：
Discret. Math.
影响因子：
--
作者：
J. Stembridge
通讯作者：
J. Stembridge
影响因子：
1.7
作者：
R. Stanley
通讯作者：
R. Stanley
影响因子：
1.7
作者：
BJORNER, A
通讯作者：
BJORNER, A