Varietes stablement rationnelles non rationnelles
Varietes stablement rationnelles non rationnelles
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各种稳定的合理性 非合理性
DOI：
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发表时间：
1985
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Simon Peter
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Par Arnaud Beauville;J. Colliot;J.;Simon Peter
la问题qui nous Interesse ici es souvent souvent espelee Qualitye de Zariski。儿子表达代数est tres简单。 une扩展f d'un Corps k est dite pure si elle es k-Isomorphe'A un corps de ktractions ractions rationnelles k（t1，...，...，td）等变量：f（u1，...，urn）k（v1，...，vn）。 en ces termes，la问题es la suivante：une扩展稳定纯Est-elle pure？ de fait cette问题es es d d d de Nature Geometrique et il vaut mieux l'Ecterimer comme西装。 soit x une k-variete代数几何数量整数，d de dimension d：在dit qu'elle est k-rationnelle si elle si elle es k-birationnelle'a a l'Espace affine adk etk et stablement et stablement et stablement et stablement et stablement et stablement et stablement et stablement k-rationnelle si X X X Kak Est Une品种K-Rationnelle。 en ces termes，la问题分开：une k-variete stablement k-rationnelle est-elle une une striet k-rationnelle？在翻新表达式上，intiale en tectant le corps des fonctions rationnelles f = k（x）de la variete x，auquel cas n = m + d。 CETTE问题A ETE POSEE PAR ZARISKI POUR K = C（VOIR [22]）。 Elle Lui escore属性，倒k quelconque，Pareurs auteurs，nond voskresenskii qui s'est Protimulierement Interesse au cas us cas out cas out x es es es un tore代数[26]，[27]。 ce es equaree esvidemment tres naturel du de vue de la de la deometrie birationnelle：c'est le lesaree de la simplefiency par l'Espace affine。 Mais IL干预使澳大利亚的Autres组成与Autres的场合。 Comme l'a montre Demazure [10], il est etroitement lie 'a l'etude des tores maximaux du groupe de Cremona Crn k en n variables sur le corps k: une reponse negative signifie l'existence de sous-tores deployes maximaux de维度<n。 ii se ussi tout tout naturellement dan le cas de Varetbiletes代数不在parvient上a etablir qu'elles sont stablement k-rationnelles n sans savoir sa savoir si elles sont k-rationnelles。 c'est le cas sur c des de Modules a＃g des courbes de genre g pour 3 <g <6（voir [17]）。 C'est Aussi le Cas，si c est une curbe代数综合体Phastive et Lisse de Genre？ 2，des varietes de模块yo/c（r，d）des fiber vectoriels vectoriels
La question qui nous interesse ici est souvent appelee probleme de Zariski. Son expression algebrique est tres simple. Une extension F d'un corps k est dite pure si elle est k-isomorphe 'a un corps de fractions rationnelles k(t1, ... , td), et stablement pure si elle devient pure par addition d'un nombre fini de variables: F(u1,..., Urn) k(v1,... , vn). En ces termes, la question est la suivante: une extension stablement pure est-elle pure? De fait cette question est de nature geometrique et il vaut mieux l'exprimer comme suit. Soit X une k-variete algebrique geometriquement integre, de dimension d: on dit qu'elle est k-rationnelle si elle est k-birationnelle 'a l'espace affine Adk, et stablement k-rationnelle si, pour m convenable, le produit X x kAk est une variete k-rationnelle. En ces termes, la question devient: une k-variete stablement k-rationnelle est-elle une variet k-rationnelle? On retrouve l'expression initiale en considerant le corps des fonctions rationnelles F = k(X) de la variete X, auquel cas n = m + d. Cette question a ete posee par Zariski pour k = C (voir [22]). Elle lui est encore attribuee, pour k quelconque, par plusieurs auteurs, dont Voskresenskii qui s'est particulierement interesse au cas oui X est un tore algebrique [26], [27]. Ce probleme est evidemment tres naturel du point de vue de la geometrie birationnelle: c'est le probleme de la simplification par l'espace affine. Mais il intervient aussi sous d'autres formes et en d'autres occasions. Comme l'a montre Demazure [10], il est etroitement lie 'a l'etude des tores maximaux du groupe de Cremona Crn k en n variables sur le corps k: une reponse negative signifie l'existence de sous-tores deployes maximaux de dimension < n. II se pose aussi tout naturellement dans le cas de varietes algebriques dont on parvient a etablir qu'elles sont stablement k-rationnelles sans savoir si elles sont k-rationnelles. C'est le cas sur C des varietes de modules A#g des courbes de genre g pour 3 < g < 6 (voir [17]). C'est aussi le cas, si C est une courbe algebrique complexe projective et lisse de genre ? 2, des varietes de modules Yo/c(r, d) des fibres vectoriels