Norm-Constrained Determinantal Representations of Multivariable Polynomials
Norm-Constrained Determinantal Representations of Multivariable Polynomials
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多元多项式的范数约束行列式表示
DOI：
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发表时间：
2013
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
H. Woerdeman
中科院分区：
文献类型：
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作者：
A. Grinshpan;Dmitry S. Kaliuzhnyi;H. Woerdeman
对于每个多变量多项式$$p$$，使用$$p(0)=1$$，我们构造一个行列式表示$$ p=det (I - K Z )$$，其中$$Z$$是对角线上有坐标变量的对角线矩阵，$$K$$是复方阵。这种表示等价于$$K$$的存在性，其主次满足一定的线性关系。当对$$K$$施加范数约束时，我们给出了与多变量von Neumann不等式、Agler分母和稳定性的联系。我们证明了如果一个多变量多项式$$q$$, $$q(0)=0,$$满足von Neumann不等式，那么$$1-q$$允许一个具有$$K$$收缩的行列式表示。另一方面，在Schur-Agler类中，每一个具有压缩$$K$$的行列式表示都会产生一个有理内函数。
For every multivariable polynomial $$p$$, with $$p(0)=1$$, we construct a determinantal representation, $$ p=det (I - K Z )$$, where $$Z$$ is a diagonal matrix with coordinate variables on the diagonal and $$K$$ is a complex square matrix. Such a representation is equivalent to the existence of $$K$$ whose principal minors satisfy certain linear relations. When norm constraints on $$K$$ are imposed, we give connections to the multivariable von Neumann inequality, Agler denominators, and stability. We show that if a multivariable polynomial $$q$$, $$q(0)=0,$$ satisfies the von Neumann inequality, then $$1-q$$ admits a determinantal representation with $$K$$ a contraction. On the other hand, every determinantal representation with a contractive $$K$$ gives rise to a rational inner function in the Schur–Agler class.