A Zero-One Law for Uniform Diophantine Approximation in Euclidean Norm
A Zero-One Law for Uniform Diophantine Approximation in Euclidean Norm
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欧几里得范数中统一丢番图近似的零一定律
DOI：
10.1093/imrn/rnaa256
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发表时间：
2020
影响因子：
1
通讯作者：
Rao, Anurag
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kleinbock, Dmitry;Rao, Anurag
本文研究了Davenport和施密特关于Dirichlet定理改进的一个范数敏感丢番图逼近问题。其上确界范数的情况最近被第一作者和Wadleigh考虑过，在这里我们通过用任意范数替换上确界范数来扩展该设置。这就产生了一类收缩目标问题的单参数对角流的空间上的格，与目标的适当缩放的规范球的临界轨迹的邻域。我们使用的方法从几何的号码推广的结果由于安徒生和杜克措施零和不可数的一组数字（在某些情况下，矩阵），闵可夫斯基逼近定理可以改进。欧几里德范数的选择对应于研究双曲曲面上的测地线，它访问一个减少的球族。的动态Borel-Cantelli引理的Maucourant的应用程序产生，给定一个近似函数，一个0 - 1的法律的集合，使所有足够大的不等式有非平凡的整数解。
We study a norm-sensitive Diophantine approximation problem arising from the work of Davenport and Schmidt on the improvement of Dirichlet’s theorem. Its supremum norm case was recently considered by the 1st-named author and Wadleigh , and here we extend the set-up by replacing the supremum norm with an arbitrary norm. This gives rise to a class of shrinking target problems for one-parameter diagonal flows on the space of lattices, with the targets being neighborhoods of the critical locus of the suitably scaled norm ball. We use methods from geometry of numbers to generalize a result due to Andersen and Duke on measure zero and uncountability of the set of numbers (in some cases, matrices) for which Minkowski approximation theorem can be improved. The choice of the Euclidean norm oncorresponds to studying geodesics on a hyperbolic surface, which visit a decreasing family of balls. An application of the dynamical Borel–Cantelli lemma of Maucourant produces, given an approximation function, a zero-one law for the set ofsuch that for all large enoughthe inequalityhas non-trivial integer solutions.
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