Optimal Wloc2,2-regularity, Pohozhaevʼs identity, and nonexistence of weak solutions to some quasilinear elliptic equations
Optimal Wloc2,2-regularity, Pohozhaevʼs identity, and nonexistence of weak solutions to some quasilinear elliptic equations
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最优 Wloc2,2-正则性、Pohozhaev 恒等式以及某些拟线性椭圆方程不存在弱解
DOI：
10.1016/j.jde.2011.10.020
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发表时间：
2012
影响因子：
2.4
通讯作者：
P. Takáč
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Y. Sh. Il'yasov;P. Takáč
我们开始通过建立一个关于具有p-Laplacian算子的非线性椭圆型方程有界弱解的精确（最优）Wloc 2，2-正则性结果Δpu=defdiv（|u| p−2 u），1<p<∞。我们开发了非常精确的，最佳的正则性估计椭圆的退化（2<p<∞）或奇异（1<p<2）的问题。利用这个正则性结果证明了椭圆Neumann问题弱解u∈W1，p（Ω）的Pohozhaev恒等式这里，Ω是RN中的有界区域，其边界<$Ω是一个C2-流形，ν <$ν（x 0）表示在x 0 ∈ <$Ω处<$Ω的外单位法线，x=（x1，.，xN）是Ω中的一般点，f∈L∞（Ω）<$W1，1（Ω）.假定势W：R→R为C ~ 1类势，对s∈R，具有典型的[公式：见正文]型双势阱，其中α，β>1为常数.最后，我们利用Pohozhaev恒等式证明了问题（P）在Ω中f <$0没有相变解u ∈W1，p（Ω）（1<p <$N），使得−1 <$u <$1在Ω中，u <$−1在Ω− 1中，u <$1在Ω1中，其中Ω− 1和Ω 1都是Ω的某个非空子域.只有当N=1且Ω−1，Ω 1是开区间Ω <$R1的适当子区间的有限并时，u的这种情形才是可能的。
We begin by establishing a sharp (optimal) Wloc2,2-regularity result for bounded weak solutions to a nonlinear elliptic equation with the p-Laplacian, Δpu=defdiv(|∇u|p−2∇u), 1<p<∞. We develop very precise, optimal regularity estimates on the ellipticity of this degenerate (for 2<p<∞) or singular (for 1<p<2) problem. We apply this regularity result to prove Pohozhaevʼs identity for a weak solution u∈W1,p(Ω) of the elliptic Neumann problem Here, Ω is a bounded domain in RNwhose boundary ∂Ω is a C2-manifold, ν≡ν(x0) denotes the outer unit normal to ∂Ω at x0∈∂Ω, x=(x1,…,xN) is a generic point in Ω, and f∈L∞(Ω)∩W1,1(Ω). The potential W:R→R is assumed to be of class C1and of the typical double-well shape of type [Formula: see text] for s∈R, where α,β>1 are some constants. Finally, we take an advantage of the Pohozhaev identity to show that problem (P) with f≡0 in Ω has no phase transition solutionu∈W1,p(Ω) (1<p⩽N), such that −1⩽u⩽1 in Ω with u≡−1 in Ω−1and u≡1 in Ω1, where both Ω−1and Ω1are some nonempty subdomains of Ω. Such a scenario for u is possible only if N=1 and Ω−1, Ω1are finite unions of suitable subintervals of the open interval Ω⊂R1.
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