Fuchsian groups, finite simple groups and representation varieties
Fuchsian groups, finite simple groups and representation varieties
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Fuchsian 群、有限单群和表示簇
DOI：
10.1007/s00222-004-0390-3
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发表时间：
2005
影响因子：
3.1
通讯作者：
A. Shalev
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
M. Liebeck;A. Shalev
令 Г 为至少 2 的 Fuchsian 群（如果 Г 是无向的，则至少为 3）。我们研究从 Γ 到有限单群 G 的同态空间，并推导了许多有关随机生成和表示变种的应用。 |Hom(Γ,G)| 的精确渐近估计给出，特别暗示当 G 的秩趋于无穷大时，其形式为 |G|μ(Γ)+1+o(1)，其中 μ(Γ) 是 Γ 的度量。然后我们证明从 Γ 到 G 的随机选择的同态是满射的，且概率趋于 1，即 |G|→∞。将我们的结果与代数几何的 Lang-Weil 估计相结合，我们获得了表示变体 $\text{Hom}(\Gamma,\bar G)$ 的维数，其中 $\bar G$ 是 GLn(K) 或 K 上的简单代数群，即任意特征的代数闭域。我们方法的一个关键要素是特征理论，涉及“zeta 函数”的研究 ζG(s)=Σχ(1)-s，其中总和是 G 的所有不可约复特征 χ。
Let Γ be a Fuchsian group of genus at least 2 (at least 3 if Γ is non-oriented). We study the spaces of homomorphisms from Γ to finite simple groups G, and derive a number of applications concerning random generation and representation varieties. Precise asymptotic estimates for |Hom(Γ,G)| are given, implying in particular that as the rank of G tends to infinity, this is of the form |G|μ(Γ)+1+o(1), where μ(Γ) is the measure of Γ. We then prove that a randomly chosen homomorphism from Γ to G is surjective with probability tending to 1 as |G|→∞. Combining our results with Lang-Weil estimates from algebraic geometry, we obtain the dimensions of the representation varieties $\text{Hom}(\Gamma,\bar G)$, where $\bar G$ is GLn(K) or a simple algebraic group over K, an algebraically closed field of arbitrary characteristic. A key ingredient of our approach is character theory, involving the study of the ‘zeta function’ ζG(s)=∑χ(1)-s, where the sum is over all irreducible complex characters χ of G.