Hopf monads on monoidal categories
Hopf monads on monoidal categories
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DOI：
10.1016/j.aim.2011.02.008
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发表时间：
2010-03
影响因子：
1.7
通讯作者：
A. Bruguières;Stephen Lack;A. Virelizier
中科院分区：
文献类型：
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作者：
A. Bruguières;Stephen Lack;A. Virelizier
我们在任意monoidal范畴上定义了Hopf单子，扩展了Bruguières和Virelizier（2007）[5]中给出的关于具有π的monoidal范畴的定义。一个霍普夫单子是一个双单子（或opmonoidal单子），其融合算子是可逆的。这个定义可以用霍普夫变换来表示，它是具有可逆性条件的共单调变换。在具有内部Homs的monoidal范畴上，一个Hopf单子是一个允许一个左对极和一个右对极的双单子。Hopf单子将Hopf代数推广到非辫子情形。他们还推广了霍普夫代数胚（这是线性霍普夫单子上的一类双模承认一个右伴随）。证明了任何有限张量范畴都是Hopf代数体上的有限维模范畴。任何一个在monoidal范畴C中心的Hopf代数都产生C上的一个Hopf单子。这样得到的Hopf单子就是增广的Hopf单子。更一般地，如果一个Hopf单子T是一个Hopf单子P的收缩，则P是T与T-模范畴的中心的一个Hopf代数的叉积（推广了Hopf代数的Radford-Majid玻色化）。我们证明了一个Hopf附加函数的余幺半群余幺半群是由一个余交换中心余代数正则表示的。作为推论，我们得到了Sweedler的Hopf模分解定理到Hopf单子的一个推广（实际上是到较弱的pre-Hopf单子的概念）。
We define Hopf monads on an arbitrary monoidal category, extending the definition given in Bruguières and Virelizier (2007) [5] for monoidal categories with duals. A Hopf monad is a bimonad (or opmonoidal monad) whose fusion operators are invertible. This definition can be formulated in terms of Hopf adjunctions, which are comonoidal adjunctions with an invertibility condition. On a monoidal category with internal Homs, a Hopf monad is a bimonad admitting a left and a right antipode. Hopf monads generalize Hopf algebras to the non-braided setting. They also generalize Hopf algebroids (which are linear Hopf monads on a category of bimodules admitting a right adjoint). We show that any finite tensor category is the category of finite-dimensional modules over a Hopf algebroid. Any Hopf algebra in the center of a monoidal category C gives rise to a Hopf monad on C. The Hopf monads so obtained are exactly the augmented Hopf monads. More generally if a Hopf monad T is a retract of a Hopf monad P, then P is a cross product of T by a Hopf algebra of the center of the category of T-modules (generalizing the Radford–Majid bosonization of Hopf algebras). We show that the comonoidal comonad of a Hopf adjunction is canonically represented by a cocommutative central coalgebra. As a corollary, we obtain an extension of Sweedlerʼs Hopf module decomposition theorem to Hopf monads (in fact to the weaker notion of pre-Hopf monad).