SMOOTH ERGODIC THEORY OF Z d-ACTIONS PART 3 : PRODUCT STRUCTURE OF ENTROPY
SMOOTH ERGODIC THEORY OF Z d-ACTIONS PART 3 : PRODUCT STRUCTURE OF ENTROPY
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Z d 作用的平滑遍历理论第 3 部分：熵的乘积结构
DOI：
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发表时间：
2016
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
A. Bstract
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Aaron W. Brown;F. R. Hertz;Zhiren Wang;A. Bstract
对于保持 Borel 概率测度的 Z 的平滑作用，我们证明熵满足沿着粗不稳定流形的特定“乘积结构”。此外，给定两个平滑的 Z 动作（其中一个是另一个的可测量因子），我们证明对因子系统的熵有贡献的所有粗 Lyapunov 指数都是整个系统的粗 Lyapunov 指数，并推导出服从于粗不稳定流形的熵的 Abramov-Rohlin 公式。 13. 结果陈述 如第 1 部分，取 M 为配备有 Borel 概率测度 μ 的 C 流形。设 α : Z ×M → M 是通过保留测度、可测变换的动作。此外，我们假设 (M,μ) 和 α 满足第 3.1 节的现有假设。为了简单起见，我们进一步假设 μ 是遍历的。 13.1.积结构和熵的次可加性。我们的第一个主要结果是以下“熵的乘积结构”公式。回想一下，L̂ 表示 α 相对于 μ 的粗略李雅普诺夫指数，对于 χ ∈ L̂，W χ 是粗略李雅普诺夫流形的相应叶化。定理13.1。令 F 为 α 不变、C 驯服、可测量的叶状结构，并令 η 为 α 不变的可测量分区。那么对于 n ∈ Z，hμ(α(n) | F ∨ η) = Σ {χ∈L̂:χ(n)>0} hμ(α(n) | F ∨ W χ ∨ η)。特别是，我们有推论 13.2（熵的乘积结构）。
For a smooth action of Z preserving a Borel probability measure, we show that entropy satisfies a certain “product structure” along coarse unstable manifolds. Moreover, given two smooth Z-actions—one of which is a measurable factor of the other—we show that all coarse Lyapunov exponents contributing to the entropy of the factor system are coarse Lyapunov exponents of the total system and derive an Abramov–Rohlin formula for entropy subordinated to coarse unstable manifolds. 13. STATEMENT OF RESULTS As in Part 1, takeM to be a C manifold equipped with a Borel probability measure μ. Let α : Z ×M → M be an action by measure-preserving, measurable transformations. We moreover assume (M,μ) and α satisfy the standing hypotheses of Section 3.1. We further assume for simplicity that μ is ergodic. 13.1. Product structure and subadditivity of entropy. Our first main result of is the following “product structure of entropy” formula. Recall L̂ denotes the coarse Lyapunov exponents of α with respect to μ and for χ ∈ L̂, W χ is the corresponding foliation by coarse Lyapunov manifolds. Theorem 13.1. Let F be an α-invariant, C-tame, measurable foliation and let η be an α-invariant measurable partition. Then for n ∈ Z, hμ(α(n) | F ∨ η) = ∑ {χ∈L̂:χ(n)>0} hμ(α(n) | F ∨ W χ ∨ η). In particular, we have Corollary 13.2 (Product structure of entropy).