The non-hyperbolicity of irrational invariant curves for twist maps and all that follows
The non-hyperbolicity of irrational invariant curves for twist maps and all that follows
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扭曲映射的无理不变曲线的非双曲性以及以下所有内容
DOI：
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发表时间：
2014
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
P. Berger
中科院分区：
文献类型：
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作者：
M. Arnaud;P. Berger
本文的关键结果是关键引理：如果乔丹曲线 $gamma$ 对于表面的给定 C 1+$alpha$ -微分同胚 f 是不变的，并且如果 $gamma$ 带有遍历双曲概率 $mu$，则 $mu$ 在周期轨道上得到支持。从这个引理，我们推导出环面的 C 1+$alpha$ 辛扭曲映射 f 的三个新结果： 1. 如果 $gamma$ 是不稳定区域边界处的环，使得 f |$gamma$ 具有无理旋转数，则任何轨道向 $gamma$ 的收敛速度都慢于指数； 2. 如果 $mu$ 是由具有无理旋转数的不变曲线 $gamma$ 支持的不变概率，则 $gamma$ 是 C 1 $mu$ - 几乎无处不在； 3. 我们证明了所谓的“格林准则”的一部分，该准则由 J. M. Greene 在 1978 年的[16]中提出，但从未被证明：假设 (pn qn) 是收敛于无理数 $omega$ 的有理数序列；设 (f k (x n)) 1$le$k$le$qn 是旋转数为 pn qn 的最小化周期轨道，并用 R n 表示其平均留数 R n = |1/2 -- Tr(Df qn (x n))/4|
The key result of this article is key lemma: if a Jordan curve $gamma$ is invariant by a given C 1+$alpha$ -diffeomorphism f of a surface and if $gamma$ carries an ergodic hyperbolic probability $mu$, then $mu$ is supported on a periodic orbit. From this Lemma we deduce three new results for the C 1+$alpha$ symplectic twist maps f of the annulus: 1. if $gamma$ is a loop at the boundary of an instability zone such that f |$gamma$ has an irrational rotation number, then the convergence of any orbit to $gamma$ is slower than exponential; 2. if $mu$ is an invariant probability that is supported in an invariant curve $gamma$ with an irrational rotation number, then $gamma$ is C 1 $mu$-almost everywhere; 3. we prove a part of the so-called "Greene criterion", introduced by J. M. Greene in [16] in 1978 and never proved: assume that (pn qn) is a sequence of rational numbers converging to an irrational number $omega$; let (f k (x n)) 1$le$k$le$qn be a minimizing periodic orbit with rotation number pn qn and let us denote by R n its mean residue R n = |1/2 -- Tr(Df qn (x n))/4|