Linear Convergence of a Rearrangement Method for the One-dimensional Poisson Equation
Linear Convergence of a Rearrangement Method for the One-dimensional Poisson Equation
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一维泊松方程重排方法的线性收敛
DOI：
10.1007/s10915-020-01389-5
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发表时间：
2021
影响因子：
2.5
通讯作者：
Osting, Braxton
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kao, Chiu-Yen;Mohammadi, Seyyed Abbas;Osting, Braxton
在本文中，我们研究了一种重排方法，用于解决与具有狄利克雷边界条件的泊松方程相关的最大化问题。最大化问题是在某个允许的集合内找到力以使总位移最大化。或者，重排方法（i）针对给定的力求解泊松方程，并且（ii）定义与解的特定超水平集相对应的新的力。由于重排方法的收敛保证和观察到的效率，因此经常用于解决该问题和各种类似的优化问题；然而，重排方法的收敛速度尚未普遍确定。在本文中，对于一维问题，我们建立线性收敛。我们还讨论了高维问题，并为二维重排方法的线性收敛提供了计算证据。
In this paper, we study a rearrangement method for solving a maximization problem associated with Poisson’s equation with Dirichlet boundary conditions. The maximization problem is to find the forcing within a certain admissible set as to maximize the total displacement. The rearrangement method alternatively (i) solves the Poisson equation for a given forcing and (ii) defines a new forcing corresponding to a particular super-level-set of the solution. Rearrangement methods are frequently used for this problem and a wide variety of similar optimization problems due to their convergence guarantees and observed efficiency; however, the convergence rate for rearrangement methods has not generally been established. In this paper, for the one-dimensional problem, we establish linear convergence. We also discuss the higher dimensional problem and provide computational evidence for linear convergence of the rearrangement method in two dimensions.
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