An Image-Area Inequality for Some Planar Holomorphic Maps
An Image-Area Inequality for Some Planar Holomorphic Maps
复制标题
DOI：
10.1007/bf03322440
复制
发表时间：
2000-08
影响因子：
2.2
通讯作者：
K. Wirths;J. Xiao
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
K. Wirths;J. Xiao
对于α ∈（−∞，2）和单位圆盘Δ到有限复平面π的全纯映射f，令$$A（f，\alpha）：=\int_{\Delta}\mid f^{\prime}（z）\mid^{2}（1-\mid z\mid）^{1-\alpha}{dm}（z）;B（f，\alpha）：=\int_{\Delta}\mid f（z）\| f^{\prime}（z）\mid（1-\mid z\mid）^{1-\alpha}{dm}（z），$$其中dm表示二维勒贝格测度。本文证明了：对所有全纯映射f：Δ → ε，当f（0）= 0且A（f，α − 1）< ∞时，存在一个仅依赖于α的常数Kα> 0，使得B（f，α）≤ K{α}A（f，α − 1）当且仅当α ∈（−∞，1）.当α ∈（−∞，1）时，Kα= [（2 − α）（l − α）/6]−1/2。此外，我们还证明了对所有全纯映射f：Δ → ∞，当f（0）= 0且B（f，α）< ∞时，A（f，α − 1）≤ 2−1（2 − α）B（f，α），其中常数2−1（2 − α）是尖锐的.
For α ∈ (−∞, 2) and a holomorphic map f of the unit disk Δ to the finite complex plane ℂ, let $$A(f,\ \alpha):=\int_{\Delta}\mid f^{\prime}(z)\mid^{2}(1-\mid z\mid)^{1-\alpha}{dm}(z);B(f,\ \alpha):=\int_{\Delta}\mid f(z)\| f^{\prime}(z)\mid(1-\mid z\mid)^{1-\alpha}{dm}(z),$$where dm stands for the two-dimensional Lebesgue measure. In this paper, we prove that there exists a constant Kα> 0 depending only on α such that B(f, α) ≤ K{α}A(f, α − 1) for all holomorphic maps f : Δ → ℂ with f(0) = 0 and A(f, α − 1) < ∞ if and only if α ∈ (−∞, 1). Moreover, Kα= [(2 − α)(l − α)/6]−1/2when α ∈ (−∞, 1). In addition, we establish that A(f, α − 1) ≤ 2−1(2 − α)B(f, α) for all holomorphic maps f : Δ → ℂ with f(0) = 0 and B(f, α) < ∞, where the constant 2−1(2 − α) is sharp.